Exercice 1, § 14

Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre centrale et simple, L une sous-algèbre commutative semi-simple de A, et $L'$ son commutant dans A.

a) On suppose que A est l’algèbre des endomorphismes d’un espace vectoriel V de dimension finie sur K. Prouver qu’on a $[L : K][L': K]\geqslant [A : K] ($cf. VIII, p. 74, prop. 1) ; pour que l’égalité ait lieu il faut et il suffit que le L-module V soit libre. En déduire des exemples où l’inégalité est stricte.

b) Dans le cas général, prouver l’inégalité $[L : K][L': K]\geqslant [A : K]$.