Bài tập 7, § 14

Cho A là một vành giao hoán, M và N là các A-môđun, và $u: M\rightarrow N$ là một ánh xạ A-tuyến tính. Với mọi iđêan cực đại $\mathfrak{m}$ của A, ký hiệu $u(\mathfrak{m})$ là đồng cấu $M/\mathfrak{m}M\rightarrow N/\mathfrak{m}N$ cảm sinh bởi $u$.

a) Giả sử rằng N sinh hữu hạn và $u(\mathfrak{m})$ là toàn ánh với mọi iđêan cực đại $\mathfrak{m}$ của A. Chứng minh rằng $u$ là toàn ánh (áp dụng Bổ đề 1 của VIII, p. 81 cho đối hạt nhân của $u$).

b) Giả sử rằng M và N sinh hữu hạn, rằng N là xạ ảnh, và rằng $u(\mathfrak{m})$ là song ánh với mọi iđêan cực đại $\mathfrak{m}$ của A. Chứng minh rằng $u$ là song ánh (dùng cùng phương pháp).

c) Giả sử rằng M và N là xạ ảnh và sinh hữu hạn và rằng $u(\mathfrak{m})$ là đơn ánh với mọi iđêan cực đại $\mathfrak{m}$ của A. Chứng minh rằng $u$ suy ra một đẳng cấu từ M đến một môđun con hạng tử trực tiếp của N (áp dụng a) cho đồng cấu $^tu)$).

d) Cho B là một A-đại số; giả sử rằng A-môđun B là trung thành, xạ ảnh và sinh hữu hạn. Chứng minh rằng A là một nhân tử trực tiếp của A-môđun B. Chứng minh rằng nếu đồng cấu B-môđun $u_{(B)}: M_{(B)}\rightarrow N_{(B)}$ là song ánh, thì $u$ cũng vậy. Chứng minh rằng nếu B-môđun $M_{(B)}$ là xạ ảnh, thì A-môđun M cũng vậy.