Exercice 7, § 14

Soient A un anneau commutatif, M et N des A-modules, $u: M\rightarrow N$ une application A-linéaire. Pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de A, on note $u(\mathfrak{m})$ l’homomorphisme $M/\mathfrak{m}M\rightarrow N/\mathfrak{m}N$ induit par $u$.

a) On suppose que N est de type fini et que $u(\mathfrak{m})$ est surjectif pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de A ; prouver que $u$ est surjectif (appliquer le lemme 1 de VIII, p. 77 au conoyau de $u$).

b) On suppose que M et N sont de type fini, que N est projectif et que $u(\mathfrak{m})$ est bijectif pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de A ; prouver que $u$ est bijectif (même méthode).

c) On suppose que M et N sont projectifs de type fini, et que $u(\mathfrak{m})$ est injectif pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de A ; prouver que $u$ induit un isomorphisme de M sur un sous-module facteur direct de N (appliquer a) à l’homomorphisme $^tu)$.

d) Soit B une A-algèbre ; on suppose que le A-module B est fidèle et projectif de type fini. Démontrer que A est facteur direct du A-module B. Si l’homomorphisme de B-modules $u_{(B)}: M_{(B)}\rightarrow N_{(B)}$ est bijectif, prouver qu’il en est de même de $u$. Si le B-module $M_{(B)}$ est projectif, il en est de même du A-module M.