§ 10. Limites projectives et inductives

Dans tout ce paragraphe, on désigne par $I$ un ensemble préordonné non vide, par $\alpha \leqslant \beta$ la relation de préordre dans $I$ . La notion de système projectif (resp. inductif) d’ensembles relatif à l’ensemble d’indices $I$ est définie en E, III, p. 52 (resp. E, III, p. 61, sous l’hypothèse que $I$ est filtrant à droite).

1. Systèmes projectifs de magmas

Définition 1

On appelle système projectif de magmas relatif à l’ensemble d’indices $I$ un système projectif d’ensembles* $(\mathbf{E}_\alpha, f_{\alpha\beta})$ relatif à $I$ , chaque $\mathbf{E}_\alpha$ étant muni d’une structure de magma et chaque $f_{\alpha\beta}$ étant un homomorphisme de magmas.

Soit $(\mathbf{E}_\alpha, f_{\alpha\beta})$ un système projectif de magmas dont les lois sont notées multiplicativement. L’ensemble limite projective $\mathbf{E} = \lim_{\leftarrow} \mathbf{E}_\alpha$ est le sous-ensemble du magma produit $\prod_{\alpha \in I} \mathbf{E}_\alpha$ formé des familles $(x_\alpha)_{\alpha \in I}$ telles que $x_\alpha = f_{\alpha\beta}(x_\beta)$ pour α ≤ β. Si $(x_\alpha)$ et $(y_\alpha)$ appartiennent à E, on a, pour $\alpha \leq \beta$ , $x_\alpha = f_{\alpha \beta}(x_\beta)$ et $y_\alpha = f_{\alpha \beta}(y_\beta)$ , d’où $x_\alpha y_\alpha = f_{\alpha \beta}(x_\beta)f_{\alpha \beta}(y_\beta) = f_{\alpha \beta}(x_\beta y_\beta)$ ; donc E est un sous-magma de $\prod_{\alpha \in I} E_\alpha$ . On munira E de la loi induite par celle de $\prod_{\alpha \in I} E_\alpha$ ; le magma obtenu s’appelle le magma limite projective des magmas $E_\alpha$ . Il jouit de la propriété universelle suivante:

a) Pour tout $\alpha \in I$ , l’application canonique $f_\alpha$ de E dans $E_\alpha$ est un homomorphisme de magmas de E dans $E_\alpha$ . On a $f_\alpha = f_{\alpha \beta} \circ f_\beta$ pour $\alpha \leq \beta$ .

b) Supposons donnés un magma F et des homomorphismes $u_\alpha : F \to E_\alpha$ tels que $u_\alpha = f_{\alpha \beta} \circ u_\beta$ pour $\alpha \leq \beta$ . Il existe un homomorphisme $u : F \to E$ et un seul tel que $u_\alpha = f_\alpha \circ u$ pour tout $\alpha \in I$ (à savoir $x \mapsto u(x) = (u_\alpha(x))_{\alpha \in I}$ ).

Si les magmas $E_\alpha$ sont associatifs (resp. commutatifs), il en est de même de E. Supposons que chaque magma $E_\alpha$ admette un élément neutre $e_\alpha$ et que les homomorphismes $f_{\alpha \beta}$ soient unifères. Alors $e = (e_\alpha)_{\alpha \in I}$ appartient à E, car $e_\alpha = f_{\alpha \beta}(e_\beta)$ pour $\alpha \leq \beta$ , et c’est un élément neutre du magma E; avec les notations précédentes, les homomorphismes $f_\alpha$ sont unifères, et si les $u_\alpha$ sont unifères, alors $u$ est unifère. De plus un élément $x = (x_\alpha)_{\alpha \in I}$ de E est inversible si et seulement si chacun des $x_\alpha$ est inversible dans le magma $E_\alpha$ correspondant, et l’on a $x^{-1} = (x_\alpha^{-1})_{\alpha \in I}$ : cela résulte de la formule $f_{\alpha \beta}(x_\beta^{-1}) = f_{\alpha \beta}(x_\beta)^{-1} = x_\alpha^{-1}$ pour $\alpha \leq \beta$ .

On déduit de ces remarques que si les magmas $E_\alpha$ sont des monoïdes (resp. des groupes) et les $f_{\alpha \beta}$ des homomorphismes de monoïdes, alors le magma E est un monoïde (resp. un groupe). On parlera dans ce cas de système projectif de monoïdes (resp. de groupes). La propriété universelle se transpose immédiatement à ce cas.

On laisse au lecteur le soin de définir un système projectif d’anneaux $(E_\alpha, f_{\alpha \beta})$ et de vérifier que $E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$ est un sous-anneau de l’anneau produit $\prod_{\alpha \in I} E_\alpha$ appelé anneau limite projective des anneaux $E_\alpha$ ; on vérifie que la propriété universelle s’étend à ce cas.

Soient $\mathfrak{E} = (E_\alpha, f_{\alpha \beta})$ et $\mathfrak{E}' = (E'_\alpha, f'_{\alpha \beta})$ deux systèmes projectifs de magmas (resp. de monoïdes, de groupes, d’anneaux) relatifs au même ensemble d’indices. Un homomorphisme de $\mathfrak{E}$ dans $\mathfrak{E}'$ est un système projectif $(u_\alpha)_{\alpha \in I}$ d’applications $u_\alpha : E_\alpha \to E'_\alpha$ tel que chaque $u_\alpha$ soit un homomorphisme. Dans ces conditions, l’application $u = \lim_{\leftarrow} u_\alpha$ de $\lim_{\leftarrow} E_\alpha$ dans $\lim_{\leftarrow} E'_\alpha$ est un homomorphisme (cf. E, III, p. 54).

2. Limites projectives d’actions

Supposons donnés deux systèmes projectifs d’ensembles $(\Omega_\alpha, \varphi_{\alpha \beta})$ et $(E_\alpha, f_{\alpha \beta})$ relatifs au même ensemble d’indices I. Supposons donnée pour tout $\alpha \in I$ une action de $\Omega_\alpha$ sur $E_\alpha$ de sorte que l’on ait

f_{\alpha \beta}(\omega_\beta x_\beta) = \varphi_{\alpha \beta}(\omega_\beta) \cdot f_{\alpha \beta}(x_\beta)

pour $\alpha \leq \beta$ , $x_\beta \in E_\beta$ , $\omega_\beta \in \Omega_\beta$ . On dit alors que la famille d’actions considérée est un système projectif d’actions. Posons $\Omega = \lim_{\leftarrow} \Omega_\alpha$ et $E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$ ; si $x = (x_\alpha)_{\alpha \in I}$ appartient à $E$ et $\omega = (\omega_\alpha)_{\alpha \in I}$ appartient à $\Omega$ , alors $\omega \cdot x = (\omega_\alpha \cdot x_\alpha)_{\alpha \in I}$ appartient à $E$ d’après (1). On définit ainsi une action de $\Omega$ sur $E$ , appelée limite projective des actions des $\Omega_\alpha$ sur les $E_\alpha$ .

Ce qui précède s’applique surtout au cas où les $\Omega_\alpha$ sont des monoïdes, et où chaque action de $\Omega_\alpha$ sur $E_\alpha$ est une opération. Alors, la limite projective de ces opérations est une opération du monoïde $\Omega$ sur $E$ .

On laisse au lecteur le soin de définir la limite projective d’un système projectif de groupes à opérateurs, et de vérifier que cette limite est un groupe à opérateurs.

3. Systèmes inductifs de magmas

Dans ce n° et le suivant, on suppose I filtrant à droite.

Définition 2

On appelle système inductif de magmas relatif à l’ensemble d’indices I un système inductif d’ensembles $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ relatif à I, chaque $E_\alpha$ étant muni d’une structure de magma et chaque $f_{\beta \alpha}$ étant un homomorphisme de magmas.

Soit $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ un système inductif de magmas. On notera E l’ensemble limite inductive $\lim_{\longrightarrow} E_\alpha$ et $f_\alpha$ l’application canonique de $E_\alpha$ dans E. On rappelle que l’on a

f_\beta \circ f_{\beta \alpha} = f_\alpha \quad \text{pour } \alpha \leq \beta,

E = \bigcup_{\alpha \in \Lambda} f_\alpha(E_\alpha).

D’après (2), on a aussi

f_\alpha(E_\alpha) \subset f_\beta(E_\beta) \quad \text{pour } \alpha \leq \beta.

Si $x_\alpha, y_\alpha$ dans $E_\alpha$ sont tels que $f_\alpha(x_\alpha) = f_\alpha(y_\alpha)$ , il existe un $\beta \geq \alpha$ tel que $f_{\beta \alpha}(x_\alpha) = f_{\beta \alpha}(y_\alpha)$ .

Proposition 1

Il existe sur E une structure de magma et une seule pour laquelle les applications $f_\alpha : E_\alpha \to E$ sont des homomorphismes. Si les magmas $E_\alpha$ sont associatifs (resp. commutatifs), il en est de même de E. Si les magmas $E_\alpha$ et les homomorphismes $f_{\beta \alpha}$ sont unifères, il en est de même du magma E et des homomorphismes $f_\alpha$ .

On notera multiplicativement les magmas $E_\alpha$ .

Soient $x, y$ dans E. Il existe $\alpha$ dans I et $x_\alpha, y_\alpha$ dans $E_\alpha$ tels que $x = f_\alpha(x_\alpha)$ et y = f_\alpha(y_\alpha). S’il existe une structure de magma sur E pour laquelle $f_\alpha$ soit un homomorphisme, on aura $x.y = f_\alpha(x_\alpha y_\alpha)$ , d’où l’unicité de cette structure de magma.

Pour démontrer son existence, nous devons prouver que pour $\alpha, \beta$ dans I, $x_\alpha, y_\alpha$ dans $E_\alpha$ et $x'_\beta, y'_\beta$ dans $E_\beta$ , les relations

f_\alpha(x_\alpha) = f_\beta(x'_\beta), \quad f_\alpha(y_\alpha) = f_\beta(y'_\beta)

entraînent

f_\alpha(x_\alpha y_\alpha) = f_\beta(x'_\beta y'_\beta)

. Pour

\gamma \geq \alpha

\gamma \geq \beta

, posons

x_\gamma = f_{\gamma \alpha}(x_\alpha)

y_\gamma = f_{\gamma \alpha}(y_\alpha)

x'_\gamma = f_{\gamma \beta}(x'_\beta)

y'_\gamma = f_{\gamma \beta}(y'_\beta)

. D’après la définition de la limite inductive, il existe

\gamma

dans I tels que

\gamma \geq \alpha, \gamma \geq \beta

x_\gamma = x'_\gamma, y_\gamma = y'_\gamma

. Alors

f_\alpha(x_\alpha y_\alpha) = f_\gamma(f_{\gamma \alpha}(x_\alpha y_\alpha)) = f_\gamma(x_\gamma y_\gamma) = f_\gamma(x'_\gamma y'_\gamma) = f_\gamma(f_{\gamma \beta}(x'_\beta y'_\beta)) = f_\beta(x'_\beta y'_\beta).

Supposons les magmas $E_\alpha$ associatifs. Soient $x, y, z$ dans E. Il existe $\alpha \in I$ et des éléments $x_\alpha, y_\alpha, z_\alpha$ de $E_\alpha$ tels que

x = f_\alpha(x_\alpha), \quad y = f_\alpha(y_\alpha), \quad z = f_\alpha(z_\alpha).

On a alors

xy = f_\alpha(x_\alpha y_\alpha)

, d’où

(xy)z = f_\alpha((x_\alpha y_\alpha)z_\alpha)

; de même, on a

x(yz) = f_\alpha(x_\alpha(y_\alpha z_\alpha))

, d’où

(xy)z = x(yz)

car

(x_\alpha y_\alpha)z_\alpha = x_\alpha(y_\alpha z_\alpha)

. Le cas des magmas commutatifs se traite de manière analogue.

Supposons enfin que chaque magma $E_\alpha$ ait un élément neutre $e_\alpha$ et qu’on ait $f_{\beta \alpha}(e_\alpha) = e_\beta$ pour $\alpha \leq \beta$ . Pour $\alpha, \beta$ dans I, il existe $\gamma$ dans I tel que $\gamma \geq \alpha$ et $\gamma \geq \beta$ , d’où

f_\alpha(e_\alpha) = f_\gamma(f_{\gamma \alpha}(e_\alpha)) = f_\gamma(e_\gamma) = f_\gamma(f_{\gamma \beta}(e_\beta)) = f_\beta(e_\beta)

et il existe donc un élément

e

de E tel que

f_\alpha(e_\alpha) = e

pour tout

\alpha \in I

. Soit

x \in E

; soient

\alpha \in I

x_\alpha \in E_\alpha

tels que

x = f_\alpha(x_\alpha)

. On a alors

ex = f_\alpha(e_\alpha) \cdot f_\alpha(x_\alpha) = f_\alpha(e_\alpha \cdot x_\alpha) = f_\alpha(x_\alpha) = x

et de même

xe = x

, donc

e

est élément neutre de E.

C. Q. F. D.

On dit que le magma E est la limite inductive des magmas $E_\alpha$ .

Proposition 2

Soit* $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ un système inductif de magmas et soient E sa limite inductive, $f_\alpha : E_\alpha \to E$ les homomorphismes canoniques. On suppose donnés un magma F et une famille d’homomorphismes $u_\alpha : E_\alpha \to F$ tels que $u_\alpha = u_\beta \circ f_{\beta \alpha}$ pour $\alpha \leq \beta$ . Il existe un homomorphisme $u : E \to F$ et un seul tel que $u_\alpha = u \circ f_\alpha$ pour tout $\alpha \in I$ . Si les magmas $E_\alpha$ et F et les homomorphismes $f_{\beta \alpha}$ et $u_\alpha$ sont unifères, l’homomorphisme u est unifère.

On sait (E, III, p. 62, prop. 6) qu’il existe une application $u : E \to F$ et une seule telle que $u_\alpha = u \circ f_\alpha$ pour tout $\alpha \in I$ . Vérifions que $u$ est un homomorphisme; soient $x, y$ dans E, $\alpha$ dans I et $x_\alpha, y_\alpha$ dans $E_\alpha$ tels que $x = f_\alpha(x_\alpha)$ et $y = f_\alpha(y_\alpha)$ . On a $xy = f_\alpha(x_\alpha y_\alpha)$ , d’où

u(xy) = u(f_\alpha(x_\alpha y_\alpha)) = u_\alpha(x_\alpha y_\alpha) = u_\alpha(x_\alpha)u_\alpha(y_\alpha)

= u(f_\alpha(x_\alpha))u(f_\alpha(y_\alpha)) = u(x)u(y).

Plaçons-nous maintenant dans le cas unifère et notons $e_\alpha$ l’élément unité de $E_\alpha$ , $e$ celui de $E$ et $e'$ celui de $F$ . Soit $\alpha \in I$ ; on a $e = f_\alpha(e_\alpha)$ , d’où

u(e) = u(f_\alpha(e_\alpha)) = u_\alpha(e_\alpha) = e'

car

u_\alpha

est unifère. Donc

u

est unifère.

C. Q. F. D.

Par analogie avec la notion de système inductif de magmas, on peut formuler celle de système inductif de monoïdes ou de groupes. La prop. 1 (I, p. 114) montre que le magma $E$ limite d’un système inductif de monoïdes $(E_\alpha, f_{\beta\alpha})$ est un monoïde. Montrons que $E$ est un groupe si les $E_\alpha$ sont des groupes; soient $x \in E$ , $\alpha \in I$ et $x_\alpha \in E_\alpha$ tels que $x = f_\alpha(x_\alpha)$ ; l’élément $y = f_\alpha(x_\alpha^{-1})$ de $E$ est inverse de $x$ (I, p. 15). La propriété universelle de la prop. 2 (I, p. 115) se traduit immédiatement dans le cas d’un système inductif de monoïdes ou de groupes.

Nous laissons au lecteur le soin de définir un système inductif d’anneaux. Soit $(A_\alpha, f_{\beta\alpha})$ un tel système inductif; soient $A = \lim_{\longrightarrow} A_\alpha$ et $f_\alpha : A_\alpha \to A$ les homomorphismes canoniques. Il existe (I, p. 115, prop. 2) sur $A$ une addition et une multiplication caractérisées par $x + y = f_\alpha(x_\alpha + y_\alpha)$ , $xy = f_\alpha(x_\alpha y_\alpha)$ pour $\alpha$ dans $I$ , $x_\alpha, y_\alpha$ dans $A_\alpha$ et $x = f_\alpha(x_\alpha), y = f_\alpha(y_\alpha)$ . Pour l’addition, $A$ est un groupe commutatif, et la multiplication est associative et admet un élément unité. Enfin, pour $x, y, z$ dans $A$ , soient $\alpha$ dans $I$ et $x_\alpha, y_\alpha, z_\alpha$ dans $A_\alpha$ tels que

x = f_\alpha(x_\alpha), \quad y = f_\alpha(y_\alpha), \quad \text{et} \quad z = f_\alpha(z_\alpha).

On a

(x + y)z = f_\alpha(x_\alpha + y_\alpha)f_\alpha(z_\alpha) = f_\alpha((x_\alpha + y_\alpha)z_\alpha) = f_\alpha(x_\alpha z_\alpha + y_\alpha z_\alpha) = f_\alpha(x_\alpha z_\alpha) + f_\alpha(y_\alpha z_\alpha) = xz + yz

et de manière analogue, on prouve la relation

x(y + z) = xy + xz

. Autrement dit,

A

est muni d’une structure d’anneau, caractérisée par le fait que

f_\alpha

est un homomorphisme d’anneaux pour tout

\alpha \in I

On dit que l’anneau $A$ est limite inductive des anneaux $A_\alpha$ . La prop. 2 (I, p. 115) s’étend immédiatement au cas des anneaux.

Proposition 3

a) Si les $A_\alpha$ sont non nuls, $A$ est non nul. b) Si les $A_\alpha$ sont intègres, $A$ est intègre. c) Si les $A_\alpha$ sont des corps, $A$ est un corps.

Soient $0_\alpha, 1_\alpha$ le zéro et l’unité de $A_\alpha$ , et $0, 1$ le zéro et l’unité de $A$ . Il existe $\alpha \in I$ tel que $f_\alpha(0_\alpha) = 0, f_\alpha(1_\alpha) = 1$ . Si $0 = 1$ , il existe $\beta \geq \alpha$ tel que $f_{\beta\alpha}(0_\alpha) = f_{\beta\alpha}(1_\alpha)$ , c’est-à-dire $0_\beta = 1_\beta$ . Ceci prouve a).

Supposons les $A_\alpha$ intègres. Alors $A$ est commutatif, et non nul d’après a). Soient $x, y$ des éléments de $A$ tels que $xy = 0$ . Il existe $\alpha \in I$ et $x_\alpha, y_\alpha$ dans $A_\alpha$ tels que $x = f_\alpha(x_\alpha), y = f_\alpha(y_\alpha)$ . Alors $f_\alpha(x_\alpha y_\alpha) = xy = 0 = f_\alpha(0_\alpha)$ . Donc il existe $\beta \geq \alpha$ tel que $f_{\beta\alpha}(x_\alpha y_\alpha) = f_{\beta\alpha}(0_\alpha)$ . Comme $A_\beta$ est intègre, on en conclut que $f_{\beta\alpha}(x_\alpha) = 0_\beta$ ou $f_{\beta\alpha}(y_\alpha) = 0_\beta$ , donc $x = 0$ ou $y = 0$ . Ceci prouve b).

Supposons que les $A_\alpha$ soient des corps. Alors $A \neq \{0\}$ d’après a). Soit $x$ un élément non nul de $A$ . Il existe $\alpha \in I$ et $x_\alpha \in A_\alpha$ tel que $x = f_\alpha(x_\alpha)$ . Alors $x_\alpha \neq 0$ et $f_\alpha(x_\alpha^{-1})$ est inverse de $x$ dans $A$ . Ceci prouve c).

Soient $\mathfrak{E} = (E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ et $\mathfrak{E}' = (E'_\alpha, f'_{\beta \alpha})$ deux systèmes inductifs de magmas (resp. monoïdes, groupes, anneaux). Un homomorphisme de $\mathfrak{E}$ dans $\mathfrak{E}'$ est un système inductif $(u_\alpha)_{\alpha \in I}$ d’applications $u_\alpha : E_\alpha \to E'_\alpha$ tel que chaque $u_\alpha$ soit un homomorphisme. Dans ces conditions, l’application $u = \lim u_\alpha$ de $E = \lim E_\alpha$ dans $E' = \lim E'_\alpha$ est un homomorphisme (cf. E, III, p. 63).

4. Limite inductive d’actions

Supposons donnés deux systèmes inductifs d’ensembles $(\Omega_\alpha, \varphi_{\beta \alpha})$ et $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ relatifs au même ensemble d’indices $I$ , et, pour chaque $\alpha \in I$ , une action de $\Omega_\alpha$ sur $E_\alpha$ . On suppose que l’on a

f_{\beta \alpha}(\omega_\alpha \cdot x_\alpha) = \varphi_{\beta \alpha}(\omega_\alpha) \cdot f_{\beta \alpha}(x_\alpha)

pour $\alpha \leq \beta$ , $\omega_\alpha \in \Omega_\alpha$ et $x_\alpha \in E_\alpha$ . On dit alors que la famille d’actions considérée est un système inductif d’actions. On vérifie facilement comme dans la prop. 2 (I, p. 115) qu’il existe une action $h$ de $\Omega = \lim \Omega_\alpha$ sur $E = \lim E_\alpha$ qui se décrit ainsi : soient $\omega \in \Omega$ et $x \in E$ ; soient $\alpha \in I$ et $\omega_\alpha \in \Omega_\alpha$ , $x_\alpha \in E_\alpha$ tels que $\omega = \varphi_\alpha(\omega_\alpha)$ et $x = f_\alpha(x_\alpha)$ (on note $\varphi_\alpha : \Omega_\alpha \to \Omega$ et $f_\alpha : E_\alpha \to E$ les applications canoniques); on a alors $\omega \cdot x = f_\alpha(\omega_\alpha \cdot x_\alpha)$ . On dit que l’action de $\Omega$ sur $E$ est la limite inductive des actions des $\Omega_\alpha$ sur les $E_\alpha$ .

Si les $\Omega_\alpha$ sont des monoïdes et si chaque action de $\Omega_\alpha$ sur $E_\alpha$ est une opération, l’action limite inductive est une opération.

On laisse au lecteur le soin de définir la limite inductive d’un système inductif de groupes à opérateurs, et de vérifier que cette limite est un groupe à opérateurs.

Exercises

Exercices

See the exercises for § 10.