§ 9. Trường

1. Trường

Tập hợp các phần tử khác không của trường $K$, với phép nhân, là một nhóm, chính xác là nhóm nhân $K^*$ của vành $K$ (§ 8, no. 1). Vành đối của một trường là một trường. Một trường được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó giao hoán; khi đó trường này được đồng nhất với vành đối của nó. Một trường không giao hoán đôi khi được gọi là một trường skew.

2. Miền nguyên

Vành $\mathbf{Z}$ các số nguyên hữu tỉ là một miền nguyên; nó giao hoán và khác không; tích của hai số nguyên $> 0$ là khác không; mọi số nguyên khác không đều có dạng $a$ hoặc $-a$ với $a > 0$ và $(-a)b = -ab,\ (-a)(-b) = ab$ với $a > 0,\ b > 0$, do đó mệnh đề của chúng ta được chứng minh.

Mọi trường giao hoán đều là một miền nguyên. Một vành con của một miền nguyên là một miền nguyên. Đặc biệt, một vành con của một trường giao hoán là một miền nguyên. Ta sẽ chứng minh rằng ngược lại mọi miền nguyên $\mathbf{A}$ đều đẳng cấu với một vành con của một trường giao hoán. Nhắc lại (§ 8, no. 12) rằng $\mathbf{A}$ đã được đồng nhất với một vành con của vành phân thức toàn phần của nó. Mệnh đề của chúng ta khi đó suy ra từ mệnh đề sau:

3. Iđêan nguyên tố

4. Trường các số hữu tỉ

Mọi số hữu tỉ do đó đều có dạng $a/b$ trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên hữu tỉ với $b \neq 0$ (và ta thậm chí có thể lấy $b > 0$ vì quan hệ

chứng minh điều đó). $\mathbf{Q}_+$ được dùng để ký hiệu tập hợp các số hữu tỉ có dạng $a/b$ với $a \in \mathbf{N}$ và $b \in \mathbf{N}^*$.

Ta có các quan hệ:

(1)

Hai quan hệ đầu tiên suy ra từ các công thức $a/b + a'/b' = (ab' + a'b)/bb'$, $(a/b)(a'/b') = aa'/bb'$, $0 \in \mathbf{Q}_+$, $1 \in \mathbf{Q}_+$ và thực tế rằng $\mathbf{N}$ ổn định đối với phép cộng và phép nhân, còn $\mathbf{N}^*$ ổn định đối với phép nhân. Hiển nhiên $0 \in \mathbf{Q}_+$, do đó $0 \in (-\mathbf{Q}_+)$; cho $x$ thuộc $\mathbf{Q}_+ \cap (-\mathbf{Q}_+)$; khi đó tồn tại các số nguyên dương $a, b, a', b'$ với $b \neq 0,\ b' \neq 0$ và $x = a/b = -a'/b'$; khi đó $ab' + ba' = 0$, do đó $ab' = 0$ (vì $ab' \geq 0$ và $ba' \geq 0$) và do đó $a = 0$ vì $b' \neq 0$; nói cách khác, $x = 0$. Cuối cùng, hiển nhiên $\mathbf{N} \subset \mathbf{Z}$ và $\mathbf{N} \subset \mathbf{Q}_+$. Ngược lại, nếu $x$ thuộc $\mathbf{Z} \cap \mathbf{Q}_+$, thì nó là một số nguyên hữu tỉ; tồn tại hai số nguyên hữu tỉ $a$ và $b$ với $a \geq 0,\ b > 0$ và $x = a/b$, do đó $a = bx$; nếu $x \notin \mathbf{N}$, thì $-x > 0$, do đó $-a = b(-x) > 0$ và do đó $a < 0$, trái với giả thiết.

Cho hai số hữu tỉ $x$ và $y$, ta viết $x \leq y$ nếu $y - x \in \mathbf{Q}_+$. Từ các công thức (1), (3) và (4) dễ dàng suy ra rằng $x \leq y$ là một thứ tự toàn phần trên

Q, từ (5), rằng quan hệ này cảm sinh quan hệ thứ tự thông thường trên Z. Cuối cùng, từ (1) suy ra rằng các quan hệ $x \leq y$ và $x' \leq y'$ kéo theo $x + x' \leq y + y'$ và từ (2) rằng quan hệ $x \leq y$ kéo theo $xz \leq yz$ với mọi $z \geq 0$ và $xz \geq yz$ với $z \leq 0$ (xem VI, § 2, no. 1).

Cho $x$ là một số hữu tỉ. $x$ được gọi là dương nếu $x \geq 0$, dương ngặt nếu $x > 0$, âm nếu $x \leq 0$ và âm ngặt nếu $x < 0$.† Tập hợp các số hữu tỉ dương là $\mathbf{Q}_+$ và tập hợp các số âm là $-\mathbf{Q}_+$. Nếu $\mathbf{Q}^*$ ký hiệu tập hợp các số hữu tỉ khác không, thì tập hợp $\mathbf{Q}_+^*$ các số dương ngặt bằng $\mathbf{Q}^* \cap \mathbf{Q}_+$ và $-\mathbf{Q}_+^*$ là tập hợp các số âm ngặt.

Các tập hợp $\mathbf{Q}_+^*$ và $\{1, -1\}$ là các nhóm con của nhóm nhân $\mathbf{Q}^*$. Mọi số hữu tỉ $x \neq 0$ đều biểu diễn được theo một và chỉ một cách dưới dạng $1.y, (-1).y$, trong đó $y > 0$; do đó nhóm nhân $\mathbf{Q}^*$ là tích của các nhóm con $\mathbf{Q}_+^*$ và $\{1, -1\}$, thành phần của $x$ trong $\mathbf{Q}_+^*$ được gọi là giá trị tuyệt đối của $x$ và được ký hiệu là $|x|$; thành phần của $x$ trong $\{-1, 1\}$ (bằng 1 nếu $x > 0$, bằng $-1$ nếu $x < 0$) được gọi là dấu của $x$ và được ký hiệu là $\operatorname{sgn}\, x$.

Thông thường, hai hàm này được mở rộng lên toàn bộ $\mathbf{Q}$ bằng cách đặt $|0| = 0$ và $\operatorname{sgn}\, 0 = 0$.

Bài tập

Xem các bài tập của § 9.