§ 1. Nhóm có thứ tự. Tính chia hết

Các khái niệm và kết quả được trình bày trong tiết diện này liên quan đến việc nghiên cứu các quan hệ thứ tự trong các monoid giao hoán (I, p. 12, Def. 2), trường hợp quan trọng nhất là trường hợp các nhóm Abel. Trừ khi nói tường minh ngược lại, chúng tôi sẽ dùng ký hiệu cộng tính cho luật hợp thành trong mọi nhóm và monoid được nghiên cứu. Mặt khác, trong quá trình trình bày chúng tôi sẽ đưa ra một số ứng dụng đại số quan trọng của lý thuyết các nhóm và monoid có thứ tự, và do đó chúng tôi cũng sẽ chuyển một số kết quả của mình sang ký hiệu nhân tính thích hợp với các ứng dụng ấy.

1. Định nghĩa các monoid và nhóm có thứ tự

(OM) Với mỗi $z \in M$, quan hệ $x \leq y$ kéo theo $x + z \leq y + z$.

Một tập hợp $M$ được trang bị một cấu trúc monoid giao hoán và một thứ tự tương thích với nhau được gọi là một monoid có thứ tự; nếu cấu trúc monoid giao hoán của nó là một cấu trúc nhóm, thì nó được gọi là một nhóm có thứ tự.

Theo một cách tương tự, ta có thể định nghĩa khái niệm monoid có thứ tự không giao hoán (VI, p. 30, Ex. 1).

Nếu một thứ tự tương thích với một cấu trúc monoid đã cho, thì thứ tự đối cũng vậy.

2. Các monoid và nhóm tiền thứ tự

Nhớ rằng nếu một quan hệ $x \leq y$ giữa các phần tử của một tập hợp $E$ là phản xạ và bắc cầu, thì nó được gọi là một quan hệ tiền thứ tự (Lý thuyết tập hợp, III, p. 133). Quan hệ « $x \leq y$ và $y \leq x$ » là một quan hệ tương đương $S$ trên $E$, tương thích với quan hệ $x \leq y$; khi chuyển qua thương, quan hệ $\leq$ cảm sinh một quan hệ thứ tự trên $E/S$, gọi là quan hệ thứ tự liên kết với $\leq$.

(POM) Với mọi $z \in M$, quan hệ $x \leq y$ kéo theo $x + z \leq y + z$.

Một tập hợp $M$ được trang bị một cấu trúc monoit giao hoán và một quan hệ tiền thứ tự tương thích với nhau được gọi là một monoit tiền thứ tự.

Cho $M$ là một monoit tiền thứ tự, và $S$ là quan hệ tương đương « $x \leq y$ và $y \leq x$ ». Theo (POM), quan hệ $x \equiv x' \pmod{S}$ kéo theo $x + y \leq x' + y$ và $x' + y \leq x + y$ với mọi $y \in M$, nghĩa là $x + y \equiv x' + y \pmod{S}$. Nói cách khác, quan hệ tương đương $S$ tương thích với phép cộng trong $M$ (I, p. 11). Do đó thương theo $S$ của luật cộng trên $M$, cùng với thứ tự liên kết với $\leq$, trang bị cho $M/S$ một cấu trúc monoit có thứ tự. Trong trường hợp $M$ là một nhóm tiền thứ tự, nhóm $M/S$ là thương của $M$ theo nhóm con gồm tất cả các phần tử $x$ sao cho $x \leq 0$ và $0 \leq x$.

3. Các phần tử dương

Cho $G$ là một nhóm tiền thứ tự với quan hệ tiền thứ tự $\leq$; nếu $0 \leq x$ và $0 \leq y$ thì suy ra $y \leq x + y$ theo (POM), và do đó $0 \leq x + y$ theo tính bắc cầu; điều này nói rằng tập hợp $G_+$ các phần tử $x \in G$ sao cho $0 \leq x$ là đóng đối với phép cộng; hơn nữa, quan hệ $x \leq y$ tương đương với $0 \leq y - x$, nghĩa là với $y - x \in G_+$. Ngược lại:

Chú ý rằng $0$ là phần tử duy nhất vừa dương vừa âm ; mọi phần tử $x$ sao cho $0 < x$ (tương ứng $x < 0$) được gọi là dương ngặt (tương ứng âm ngặt).

4. Nhóm lọc

Nhắc lại (Lý thuyết tập hợp, III, p. 145) rằng một tập hợp có thứ tự $G$ được gọi là lọc phải (tương ứng lọc trái)\footnote{1} nếu với mỗi cặp $(x, y)$ phần tử của $G$ tồn tại $z \in G$ sao cho $x \leq z$ và $y \leq z$ (tương ứng $z \leq x$ và $z \leq y$). Mọi nhóm có thứ tự lọc phải $G$ cũng là lọc trái và ngược lại : thật vậy, vì tồn tại $z \in G$ sao cho $-x \leq z$ và $-y \leq z$, ta có $-z \leq x$ và $-z \leq y$ (VI, p. 3, Hệ quả). Vì thế ta sẽ chỉ nói đơn giản về các nhóm lọc.

5. Quan hệ chia hết trong một trường

Ở đây chúng ta sẽ định nghĩa một số nhóm có thứ tự đóng một vai trò quan trọng trong đại số. Ký hiệu thường được dùng cho các nhóm này là ký hiệu nhân; do đó việc áp dụng cho các nhóm này các kết quả đã thu được trước đây trong ký hiệu cộng tính giả thiết phải chuyển sang ký hiệu nhân — điều này hẳn không gây khó khăn gì cho người đọc. Trong suốt tiết diện này, chữ A sẽ ký hiệu một miền nguyên và K trường phân thức của nó (l, p. 116).

Trong nhóm nhân $\mathbf{K}^*$ của các phần tử khác không của $\mathbf{K}$, tập hợp P các phần tử khác không của A đóng đối với phép nhân, vì A là một vành. Vậy nên nó định nghĩa một quan hệ tiền thứ tự trên $\mathbf{K}^*$ bởi $x^{-1}y \in P$, nghĩa là « tồn tại $z \in P$ sao cho $y = zx$ », khiến cho $\mathbf{K}^*$ là một nhóm tiền thứ tự (viết theo lối nhân) (VI, p. 3, Prop. 3). Mở rộng sang $\mathbf{K}^*$ thuật ngữ liên quan đến các phần tử của A (I, p. 97), quan hệ $x^{-1}y \in P$ cũng có thể được phát biểu như sau : x chia y, hoặc x là một ước của y, hoặc y là một bội của x (đối với vành A); và chúng ta sẽ gọi quan hệ $x^{-1}y \in P$ là quan hệ chia hết trong $\mathbf{K}^*$ đối với vành A. Quan hệ « x chia y » được ký hiệu là $x \mid y$, và phủ định của nó là $x \nmid y$. Các phần tử của P không là gì khác ngoài các bội của 1.

6. Các phép toán sơ cấp trên các nhóm có thứ tự

Cho H là một nhóm con của một nhóm có thứ tự G; hiển nhiên rằng hạn chế của thứ tự trên G lên H là tương thích với cấu trúc nhóm của H; ta sẽ luôn luôn cho H thứ tự theo cách này, trừ khi nói rõ khác đi. Nếu P là tập hợp các phần tử dương của G thì tập hợp các phần tử dương của H là H ∩ P.

Cho (G,) là một họ các nhóm có thứ tự; theo định nghĩa của tích của các tập hợp có thứ tự (Lý thuyết tập hợp, III, p. 137), nhóm tích G = $\prod G_i$ được trang bị một thứ tự, quan hệ « (x,) ≤ (y,) » giữa hai phần tử của G theo định nghĩa là cùng một điều với « x, ≤ y, với mọi α ». Ngay lập tức thấy rằng thứ tự này tương thích với cấu trúc nhóm của G; thứ tự này làm cho G thành một nhóm có thứ tự mà ta gọi là tích của các nhóm có thứ tự G,. Các phần tử dương của G là những phần tử mà mọi thành phần đều dương. Trong trường hợp mọi thừa số G, đều đồng nhất với cùng một nhóm có thứ tự H, thì G là nhóm H' các ánh xạ từ tập chỉ số I vào H, quan hệ « f ≤ g » giữa hai ánh xạ từ I vào H là cùng một điều với « f(α) ≤ g(α) với mọi α ∈ I »; các ánh xạ dương là những ánh xạ chỉ nhận các giá trị dương. Tổng trực tiếp của một họ (G,) các nhóm có thứ tự được định nghĩa như một nhóm con có thứ tự của tích của chúng (II, p. 202).

Cho (G_i)_i, là một họ các nhóm có thứ tự mà tập chỉ số I được sắp thứ tự tốt: nhắc lại (Lý thuyết tập hợp, III, p. 157) rằng một quan hệ thứ tự, gọi là thứ tự từ điển, được định nghĩa trên tập hợp tích G = $\prod G_i$, quan hệ « (x,) < (y,) » giữa hai phần tử của G theo định nghĩa là cùng một điều với « nếu β là chỉ số nhỏ nhất trong các chỉ số i sao cho x_i ≠ y_i, thì x_β < y_β ». Nhắc lại rằng tích của một họ được sắp thứ tự tốt các tập hợp được sắp thứ tự toàn phần là được sắp thứ tự toàn phần dưới thứ tự từ điển. Trong trường hợp tổng quát, thứ tự từ điển trên G là tương thích với cấu trúc nhóm của nó, như được kiểm tra ngay lập tức; được trang bị thứ tự này, nhóm G do đó là một nhóm có thứ tự, gọi là tích từ điển của họ được sắp thứ tự tốt các nhóm có thứ tự (G,).

7. Các đồng cấu tăng của các nhóm có thứ tự

Cho G và G' là hai nhóm có thứ tự; trong số các đồng cấu f từ nhóm cộng nền của G vào nhóm cộng nền của G', có ý nghĩa khi xét các ánh xạ tăng, nghĩa là những ánh xạ sao cho x ≤ y kéo theo f(x) ≤ f(y). Do hệ thức $f(y - x) = f(y) - f(x)$ suy ra rằng các đồng cấu tăng từ G vào G' được đặc trưng bởi tính chất là ảnh của một phần tử dương của G qua một đồng cấu như vậy là một phần tử dương của G'; nếu P (resp. P') ký hiệu tập hợp các phần tử dương của G (resp. G'), điều này có thể viết là $f(P) \subset P'$. Hiển nhiên đơn ánh chính tắc của một nhóm con G vào một nhóm có thứ tự G', và phép chiếu của một tích các nhóm có thứ tự lên một trong các thừa số của nó, đều là các đồng cấu tăng.

Một đẳng cấu (VI, p. 2) $f$ từ một nhóm có thứ tự G lên một nhóm có thứ tự G' là một đồng cấu song ánh từ G lên G' sao cho cả $f$ và đồng cấu nghịch đảo đều tăng, nói cách khác $f(P) = P'$.

Có thể xảy ra trường hợp một đẳng cấu từ nhóm nền của G lên nhóm nền của G' là tăng mà đẳng cấu nghịch đảo lại không tăng. Chẳng hạn, điều này xảy ra nếu $G = G'$, nếu $f$ là ánh xạ đồng nhất trên G, và nếu $P \subset P'$ nhưng $P \neq P'$. Do đó trong $\mathbf{Z}$ ta có thể lấy $P'$ là tập hợp các số nguyên dương (thông thường) và P là tập hợp các số nguyên dương chẵn.

(DIV) Cho K là trường các hàm hữu tỉ $F_2(X)$ trên trường $F_2$ cấp 2. Các quan hệ chia hết đối với các vành $F_2[X] = A'$ và $F_2[X^2, X^3] = A$ xác định hai cấu trúc nhóm có thứ tự phân biệt trên $K^*$, sao cho $A \subset A'$ (đó là các cấu trúc nhóm có thứ tự vì 1 là phần tử khả nghịch duy nhất trong A và là phần tử khả nghịch duy nhất trong A').

8. Các cận trên đúng và cận dưới đúng trong một nhóm có thứ tự

Nhắc lại (Lý thuyết tập hợp, III, p. 141) rằng nếu tập hợp các chặn trên của một tập con F của một tập hợp có thứ tự E (nghĩa là tập hợp các $z \in E$ sao cho $x \leq z$ với mọi $x \in F$) có một phần tử nhỏ nhất a, thì phần tử này, khi đó là duy nhất, được gọi là cận trên đúng của F. Nếu F là tập hợp các phần tử của một họ $(x_i)_i$, gồm các phần tử của E, thì cận trên đúng của nó, nếu tồn tại, được ký hiệu là $\sup x_i$ (hoặc $\sup x_i$ hoặc đơn giản là $\sup(x_i)$) ; nếu đó là một họ hữu hạn $(x_i)$ ($1 \leq i \leq n$), cận trên đúng này còn được ký hiệu là $\sup_{\text{LEI}} (x_1, \ldots, x_n)$. Cận dưới đúng được định nghĩa một cách tương tự và được ký hiệu là inf. Các phép toán sup và inf là kết hợp và giao hoán.

Nhắc lại (Lý thuyết tập hợp, loc. cit.) rằng nếu F là một tập con của một tập hợp có thứ tự E, và $(x_i)$ là một họ các phần tử của F, thì sự tồn tại của $\sup(x_i)$ trong E (có thể ký hiệu là $\sup_E(x_i)$) không kéo theo sự tồn tại của một cận trên đúng của các $x_i$ trong F (có thể ký hiệu là $\sup_F(x_i)$ khi nó tồn tại); nếu cả hai đều tồn tại thì ta chỉ biết rằng $\sup_E(x_i) \leq \sup_F(x_i)$; tuy nhiên nếu $\sup_E(x_i)$ tồn tại và thuộc F, thì $\sup_F(x_i)$ tồn tại và bằng $\sup_E(x_i)$. Chẳng hạn, trong vành đa thức $A = K[X, Y]$ (K là một trường), các iđêan chính AX và AY có iđêan $AX + AY$ làm cận trên đúng (đối với quan hệ $\subset$) trong tập hợp có thứ tự các iđêan của A, nhưng có iđêan A làm cận trên đúng trong tập hợp tất cả các iđêan chính của A.

(DIV) Một phần tử d của $K^*$ được gọi là một ước chung lớn nhất, hay viết tắt là gcd, của một họ $(x_i)$ các phần tử của $K^*$, nếu iđêan phân thức chính (d) là cận trên đúng trong $\mathscr{P}^*$ (đối với quan hệ $\subset$) của họ các iđêan $((x_i))$, hay nói cách khác nếu quan hệ $z \mid d$ với $z \in K^*$ là tương đương với « $z \mid x_i$ với mọi $i$ ». Tương tự, ta sẽ nói rằng $m \in K^*$ là một bội chung nhỏ nhất hay một lcm của họ $(x_i)$ nếu $(m)$ là cận dưới đúng trong $\mathscr{P}^*$ của họ các iđêan $((x_i))$, nghĩa là nếu m | z là tương đương với « x_i | z với mọi i ». Điều đó cũng tương đương với việc nói rằng $(m) = \cap_{i} (x_i)$; thật vậy, điều kiện $x_i | z$ với mọi $i$ là tương đương với $z \in A x$, với mọi $i$, nghĩa là với $z \in \cap_{i} (x_i)$, và điều kiện $m | z$ là tương đương với $z \in (m)^1$.

Chú ý rằng nếu một iđêan phân thức chính (d) thỏa mãn $(d) = \sum (x_i)$ thì d là một gcd của họ $(x_i)$; nhưng ngược lại, một gcd của $(x_i)$ không nhất thiết thỏa mãn điều kiện trên (x. VI, p. 33, Ex. 24).

Gcd và lcm, nếu tồn tại, được xác định duy nhất theo môđun nhóm con U gồm các đơn vị của $K^*$, nghĩa là hai gcd (hoặc hai lcm) của cùng một họ thì liên kết với nhau; do lạm dụng ngôn ngữ, ta thường sẽ viết gcd$(x_i)$ và lcm$(x_i)$ cho một gcd hoặc một lcm bất kỳ của họ $(x_i)$, mỗi khi các phần tử như vậy tồn tại.

(DIV) Do lạm dụng ngôn ngữ, đôi khi ta mở rộng khái niệm gcd cho một họ $(x_i)$ các phần tử của K, trong đó một số phần tử có thể bằng không; gcd này lại được định nghĩa là một phần tử d sao cho quan hệ $z | d$ là tương đương với « $z | x_i$ với mọi $i$ »; rõ ràng d bằng 0 nếu mọi $x_i$ đều bằng không; nếu không thì d là một gcd của các $x_i$ khác không. Tương tự, lcm của một họ mà trong đó một số phần tử bằng không là 0.

Trong một nhóm có thứ tự G, một hệ quả ngay lập tức của tính bất biến đối với phép tịnh tiến của thứ tự (VI, p. 2, Mệnh đề 2) là

(1)

(2)

9. Nhóm có thứ tự kiểu dàn

Nhắc lại rằng một tập hợp có thứ tự, trong đó mọi tập con hữu hạn khác rỗng đều có một cận trên đúng và một cận dưới đúng, được gọi là một dàn (E, III, p. 13). Rõ ràng một tích các nhóm có thứ tự kiểu dàn, và đặc biệt một tích các nhóm được sắp thứ tự toàn phần, là một nhóm có thứ tự kiểu dàn. Ngược lại, một nhóm con của một nhóm có thứ tự kiểu dàn không nhất thiết là nhóm có thứ tự kiểu dàn.

Như vậy, trong nhóm có thứ tự tích $Z \times Z$, « phản đường chéo » (tập hợp các cặp $(n, n')$ sao cho $n + n' = 0$) được sắp thứ tự bởi thứ tự rời rạc, và do đó không phải là một nhóm có thứ tự kiểu dàn. Nhóm cộng của các đa thức theo một biến thực (VI, p. 1, ví dụ 2) là một nhóm lọc được (vì cả $p(x)$ lẫn $q(x)$ đều nhỏ hơn $(p(x))^2 + (q(x))^2 + 1$) mà người ta có thể chỉ ra là không có thứ tự kiểu dàn. \

10. Định lý phân tích

11. Phần dương và phần âm

Mặc dù có tên như vậy, phần âm $x^-$ là một phần tử dương.

Rõ ràng $x^- = (-x)^+$ và $|-x| = |x|$. Ta cũng chú ý các công thức sau đây, trong đó công thức thứ nhất là một hệ quả ngay lập tức của các định nghĩa và của tính bất biến của thứ tự đối với phép tịnh tiến, còn công thức thứ hai suy ra từ công thức thứ nhất bởi Mệnh đề 7 của VI, p. 10:

12. Các phần tử nguyên tố cùng nhau

Trong một số trường hợp, việc định nghĩa hai phần tử là nguyên tố cùng nhau nếu $\inf(|x|, |y|) = 0$ (x. INT, II, § 1) hoặc đưa vào thuật ngữ tương ứng trong lý thuyết chia hết là tự nhiên. Ở đây chúng ta sẽ không làm như vậy.

Hai phần tử nguyên tố cùng nhau tất yếu là dương. Phần dương và phần âm $x^+$ và $x^-$ của x là nguyên tố cùng nhau (VI, p. 12, Prop. 9, a)). Các phần tử $x_i$ của một họ (x,)_, , được gọi là nguyên tố cùng nhau theo họ nếu $\inf_{i \in I} x_i = 0$; nếu các $x_i$ đều $\geq 0$ thì điều kiện đủ là tồn tại một tập con hữu hạn J của I sao cho các phần tử tương ứng là nguyên tố cùng nhau theo họ. Các phần tử của một họ (x,) được gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một nếu $\inf(x_i, x_j) = 0$ với mọi cặp $(\ell, \kappa)$ chỉ số phân biệt.

Các $x_i$ có thể nguyên tố cùng nhau theo họ mà không nguyên tố cùng nhau từng đôi một.

Nếu x và y nguyên tố cùng nhau, ta cũng nói rằng x nguyên tố cùng nhau với y, hoặc y nguyên tố cùng nhau với X

(DIV) Hai phần tử x và y của K được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu các iđêan chính (x) và (y) là khác không và nguyên tố cùng nhau trong $\mathscr{P}^*$; điều này có nghĩa là 1 là một gcd của x và y, và kéo theo rằng x và y thuộc A. Chẳng hạn tử số và mẫu số của một phân số tối giản là nguyên tố cùng nhau. Các khái niệm các phần tử nguyên tố cùng nhau từng đôi một và nguyên tố cùng nhau theo họ được định nghĩa tương tự.

(DIV) Khi x và y nguyên tố cùng nhau, người ta thường còn nói rằng chúng « nguyên tố với nhau »; thuận tiện hơn là tránh thuật ngữ này, vì nó có thể gây nhầm lẫn với khái niệm số nguyên tố (I, p. 50, Def. 16).