§ 1. 1. Định nghĩa các số thực

1. Định nghĩa các số thực

1. Nhóm có thứ tự của các số hữu tỉ

Ta đã định nghĩa quan hệ thứ tự $x \leq y$ trên tập $\mathbf{Q}$ các số hữu tỉ; ta đã thấy rằng quan hệ thứ tự này làm cho $\mathbf{Q}$ là một tập có thứ tự tuyến tính, và nó tương thích với cấu trúc nhóm cộng của $\mathbf{Q}$ , nghĩa là với mỗi $z \in \mathbf{Q}$ quan hệ $x \leq y$ tương đương với $x + z \leq y + z$ (tức là, quan hệ thứ tự là bất biến qua các phép tịnh tiến). Ta nhắc lại ký hiệu (được sử dụng trong mọi nhóm có thứ tự tuyến tính)

x^+ = \sup (x, 0), \\ x^- = \sup (-x, 0) = (-x)^+, \\ |x| = \sup (x, -x);

$|x|$ được gọi là giá trị tuyệt đối của $x$ , và ta có

x = x^+ - x^-, \qquad |x| = x^+ + x^-

và bất đẳng thức tam giác

(1)

|x + y| \leq |x| + |y|,

cùng với bất đẳng thức (2)

||x| - |y|| \leq |x - y|

là một hệ quả ngay lập tức của (1); hơn nữa (3)

|x^+ - y^+| \leq |x - y|.

Các quan hệ $x \geq 0,\ x = x^+,\ x^- = 0,\ |x| = x$ (tương ứng. $x \leq 0,\ x = -x^-,\ x^+ = 0,\ |x| = -x$ ) là tương đương. Quan hệ $|x| = 0$ tương đương với $x = 0$ ; nếu $a \geq 0$ , quan hệ $|x| \leq a$ tương đương với $-a \leq x \leq a$ , và quan hệ $|x| \geq a$ tương đương với " $x \geq a$ hoặc $x \leq -a$ ". Với mọi $x, y$ trong $\mathbf{Q}$ , ta có

(4)

\sup (x, y) + z = \sup (x + z, y + z),

(5)

\inf (x, y) = - \sup (-x, -y),

và, như các trường hợp riêng,

(6)

\sup (x, y) = x + (y - x)^+ = x + (x - y)^-,

(7)

\inf (x, y) = x - (y - x)^- = x - (x - y)^+.

Cuối cùng, gọi $\mathbf{Q}_+$ là tập hợp các số hữu tỉ $\geq 0$ ; khi đó ta có

(8)

\mathbf{Q}_+ + \mathbf{Q}_+ \subset \mathbf{Q}_+,

(9)

\mathbf{Q}_+ \cap (- \mathbf{Q}_+) = \{ 0 \},

(10)

\mathbf{Q}_+ \cup (- \mathbf{Q}_+) = \mathbf{Q}.

Quan hệ $x \leq y$ tương đương với $y - x \in \mathbf{Q}_+$ .

Ta sẽ dùng quan hệ thứ tự này để định nghĩa một tôpô trên $\mathbf{Q}$ tương thích với cấu trúc nhóm cộng của nó.

2. Đường thẳng hữu tỉ

Xét tập $\mathfrak{F}$ gồm các khoảng mở đối xứng $]-a, +a[$ , trong đó $a$ chạy qua tập các số hữu tỉ $> 0$ ; ta sẽ chứng minh rằng $\mathfrak{F}$ là một hệ cơ bản các lân cận của $0$ trong một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm cộng của $\mathbf{Q}$ .

Nhóm $\mathbf{Q}$ là giao hoán, và tiên đề $(\mathrm{GV}'_{\mathrm{II}})$ được thỏa mãn rõ ràng; do đó chỉ cần chứng minh rằng tiên đề $(\mathrm{GV}'_{\mathrm{I}})$ cũng được thỏa mãn, nói cách khác, với mỗi $a > 0$ tồn tại $b > 0$ sao cho các điều kiện $|x| < b$ và $|y| < b$ cùng kéo theo $|x + y| < a$ . Bất đẳng thức tam giác cho thấy ta có thể lấy $b = a/2$ .

Định nghĩa 1

Đường thẳng hữu tỉ là không gian tôpô gồm tập hợp $\mathbf{Q}$ cùng với tôpô nhóm cộng mà trong đó các khoảng mở đối xứng $]-a, +a[$ $(a > 0)$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $0$ .

Nhóm tôpô $\mathbf{Q}$ được định nghĩa như vậy được gọi là nhóm cộng của đường thẳng hữu tỉ.

Nếu $a$ là một số hữu tỉ $> 0$ , thì tồn tại một số nguyên $n > 0$ sao cho $1/n < a$ ; do đó các khoảng mở $]-\frac{1}{n}, +\frac{1}{n}[$ $(n = 1, 2, \ldots)$ tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của $0$ trên đường thẳng hữu tỉ.

Ta thu được một hệ cơ sở các lân cận của mọi điểm $x \in \mathbf{Q}$ bằng cách lấy các khoảng mở $]x - a, x + a[$ , trong đó $a$ chạy qua tập hợp các số hữu tỉ $> 0$ (hoặc tập hợp các số $1/n$ ).

Định nghĩa 1 do đó tương đương với định nghĩa đã cho trong Chương I, § 1, no. 2.

Với mỗi cặp số hữu tỉ $(a, b)$ sao cho $a < b$ , tồn tại $c \in \mathbf{Q}$ sao cho $a < c < b$ [chẳng hạn $c = (a + b)/2$ ]; suy ra đường thẳng hữu tỉ là một không gian Hausdorff không rời rạc.

Với mỗi $a > 0$ , đặt $U_a$ là tập hợp các cặp $(x, y)$ thuộc $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ sao cho $|x - y| < a$ . Khi $a$ chạy qua tập hợp các số hữu tỉ $> 0$ (hoặc chỉ tập hợp các số $1/n$ ), các tập hợp $U_a$ tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của uniformity của nhóm cộng $\mathbf{Q}$ của đường thẳng hữu tỉ. Các quan hệ (2) và (3) cho thấy rằng $|x|, x^+$ và $x^-$ liên tục đều trên $\mathbf{Q}$ . Suy ra các hàm $\sup(x, y)$ và $\inf(x, y)$ liên tục đều trên $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ .

3. Đường thẳng thực và các số thực

Định nghĩa 2

Gọi $\mathbf{R}$ là nhóm tôpô là hoàn thành của nhóm cộng $\mathbf{Q}$ của đường thẳng hữu tỉ. Các phần tử của $\mathbf{R}$ được gọi là các số thực; với tư cách là một không gian tôpô, $\mathbf{R}$ được gọi là đường thẳng thực; với tư cách là một nhóm tôpô, $\mathbf{R}$ được gọi là nhóm cộng của đường thẳng thực.

Ta luôn đồng nhất $\mathbf{Q}$ với nhóm con trù mật của $\mathbf{R}$ mà nó đẳng cấu chính tắc. Theo quy ước này, mọi số hữu tỉ đều là một số thực. Mọi số thực không hữu tỉ được gọi là số vô tỉ; ta đã thấy trong Chương II, § 3, no. 3 rằng các số như vậy tồn tại (ta sẽ chứng minh điều này theo một cách khác trong § 3, no. 3 của chương này; xem thêm Bài tập 2 của § 2); do đó (Chương III, § 2, no. 1) tập hợp $\mathbf{CQ}$ các số vô tỉ là trù mật trong $\mathbf{R}$ .

Ta sẽ chứng minh rằng cấu trúc thứ tự của $\mathbf{Q}$ có thể mở rộng lên $\mathbf{R}$ sao cho thứ tự mở rộng vẫn tương thích với cấu trúc nhóm cộng của $\mathbf{R}$ :

Mệnh đề 1

Quan hệ $y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ là một quan hệ thứ tự trên $\mathbf{R}$ , biến $\mathbf{R}$ thành một tập hợp có thứ tự tuyến tính; tương thích với cấu trúc nhóm cộng trên $\mathbf{R}$ , và cảm sinh thứ tự $x \leq y$ trên $\mathbf{Q}$ .

Ta bắt đầu bằng cách chứng minh rằng các quan hệ $y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ và $z - y \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ kéo theo $z - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ . Thật vậy, hàm $x + y$ liên tục trên $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ , và do đó theo (8) ta có $\overline{\mathbf{Q}}_+ + \overline{\mathbf{Q}}_+ \subset \overline{\mathbf{Q}}_+$ (Chương I, § 2, no. 1, Định lý 1). Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng các quan hệ $y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ và $x - y \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ kéo theo $x = y$ ; điều này sẽ thiết lập rằng $y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ là một

Theo (10), ta có $\overline{\mathbf{Q}}_+ \cup (-\overline{\mathbf{Q}}_+) = \mathbf{R}$ , và do đó $\mathbf{R}$ là có thứ tự tuyến tính bởi quan hệ thứ tự $y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ .

Hơn nữa, vì các quan hệ $y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ và $(y + z) - (x + z) \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ là tương đương, quan hệ thứ tự $y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ tương thích với cấu trúc nhóm cộng của $\mathbf{R}$ .

Cuối cùng, nếu $x$ và $y$ thuộc $\mathbf{Q}$ thì các quan hệ $y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ và $y - x \in \mathbf{Q}_+$ là tương đương, và do đó quan hệ $y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ cảm sinh quan hệ $x \leq y$ trên $\mathbf{Q}$ . Điều này hoàn tất chứng minh.

Quan hệ $y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+$ lại được ký hiệu là $x \leq y$ . Tập hợp $\overline{\mathbf{Q}}_+$ là tập hợp tất cả các $x \geq 0$ trong $\mathbf{R}$ và được ký hiệu là $\mathbf{R}_+$ ; nó là một tập hợp đóng. Tập hợp tất cả các $x > 0$ được ký hiệu là $\mathbf{R}_+^*$ ; nó là phần bù của $-\mathbf{R}_+$ và do đó là mở trong $\mathbf{R}$ .

4. Các tính chất của các khoảng trong $\mathbf{R}$

Mệnh đề 2

Mọi khoảng đóng (tương ứng, mở) trong $\mathbf{R}$ đều là một tập hợp đóng (tương ứng, mở) trong $\mathbf{R}$ .

Các tập hợp $[a, \to[ = a + \mathbf{R}_+$ và $]\leftarrow, a] = a - \mathbf{R}_+$ thu được bằng phép tịnh tiến từ $\mathbf{R}_+$ và $-\mathbf{R}_+$ tương ứng và do đó là đóng (Chương III, § 1, no. 1); các tập hợp $]\leftarrow, a[$ và $]a, \to[,$ là các phần bù của chúng, là mở; cuối cùng, khoảng đóng $[a, b]$ (tương ứng, khoảng mở $]a, b[$ ) là giao của $[a, \to[$ và $]\leftarrow, b]$ (tương ứng, của $]a, \to[$ và $]\leftarrow, b[$ ) và do đó là một tập hợp đóng (tương ứng, mở).

Các khoảng đóng $[-a, +a]$ ( $a > 0$ ) trong $\mathbf{R}$ do đó là các lân cận của 0. Ta hãy chứng minh rằng chúng tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 khi $a$ chạy qua $\mathbf{R}_+^*$ . Để làm điều này, chỉ cần thiết lập mệnh đề sau:

Mệnh đề 3

Khi $r$ chạy qua tập hợp các số hữu tỉ $> 0$ , các khoảng $s_r = [-r, +r]$ trong $\mathbf{R}$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0.

Theo Mệnh đề 7 của Chương III, § 3, no. 4 ta thu được một hệ cơ sở các lân cận của 0 trong $\mathbf{R}$ bằng cách lấy các bao đóng trong $\mathbf{R}$ của các khoảng

S_r \cap \mathbf{Q} = [-r, +r] \textit{of} \mathbf{Q}. Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra rằng S_r là bao đóng của S_r \cap \mathbf{Q}. Bây giờ S_r là đóng trong \mathbf{R}, và do đó ta chỉ cần chứng minh rằng, nếu x là một số thực sao cho -r < x < r, thì x thuộc bao đóng của S_r \cap \mathbf{Q}. Khoảng ]-r, +r[ là một tập mở trong \mathbf{R} và vì vậy với mọi lân cận V đủ nhỏ của o trong \mathbf{R} ta có x + V \subset ]-r, +r[; nhưng vì \mathbf{Q} trù mật trong \mathbf{R}, tồn tại một số hữu tỉ r' \in x + V, sao cho -r < r' < r và do đó r' \in S_r \cap \mathbf{Q}.

Hệ quả

Mọi điểm của đường thẳng thực đều có một hệ cơ sở đếm được các lân cận.

Mệnh đề 4

Nếu (x, y) là một cặp bất kỳ các số thực sao cho x < y, thì có một số hữu tỉ r sao cho x < r < y.

Vì \mathbf{Q} trù mật trong \mathbf{R}, chỉ cần chỉ ra rằng ]x, y[ là không rỗng; bằng phép tịnh tiến ta có thể giả sử x = 0 và y > 0. Bây giờ \mathbf{R} là một không gian Hausdorff và do đó, theo Mệnh đề 3, tồn tại một số hữu tỉ r > 0 sao cho y \notin ]-r, +r[, và điều này kéo theo 0 < r < y.

Mệnh đề 5

Cho I là một khoảng bất kỳ trong \mathbf{R}. Khi đó tôpô cảm sinh trên I bởi tôpô của \mathbf{R} được sinh bởi các khoảng mở của I (trong đó I được xem là có thứ tự tuyến tính bởi quan hệ x \leq y).

Mọi khoảng mở của I là vết trên I của một khoảng mở của \mathbf{R}. Điều này rõ ràng đối với một khoảng bị chặn, và khoảng không bị chặn ]a, \to[ của I là vết của khoảng không bị chặn ]a, \to[ của \mathbf{R}. Do đó ta có thể giới hạn vào trường hợp I = \mathbf{R}; nhưng trong trường hợp này kết quả suy ra từ Mệnh đề 3, vì mọi lân cận của một điểm x \in \mathbf{R} chứa một khoảng mở ]x - a, x + a[.

Nhận xét

Nếu A là một tập con trù mật của \mathbf{R}, tôpô của \mathbf{R} được sinh bởi các khoảng mở có các đầu mút thuộc A. Thật vậy, nếu

]x - a, x + a[

là một khoảng mở chứa x, tồn tại hai điểm y, z của A sao cho x - a < y < x và x < z < x + a; do đó ]y, z[ chứa x và được chứa trong ]x - a, x + a[. Chứng minh này còn chỉ ra rằng, hơn nữa, các khoảng đang xét tạo thành một cơ sở (Chương I, § 1, no. 3) của tôpô của \mathbf{R}. Đặc biệt, nếu lấy A = \mathbf{Q}, ta thấy rằng tôpô của \mathbf{R} có một cơ sở đếm được.

5. Độ dài của một khoảng

Định nghĩa 3

Độ dài của một khoảng bị chặn với các đầu mút a và b (a \leq b) được định nghĩa là b - a.

Mọi khoảng bị chặn chứa nhiều hơn một điểm do đó có độ dài > 0. Nếu $a \leq b$ , bốn khoảng $[a, b], ]a, b[, [a, b[$ và $]a, b[$ đều có cùng độ dài. Một khoảng có các đầu mút $a + c$ và $b + c$ có cùng độ dài với một khoảng có các đầu mút $a$ và $b$ ; nói cách khác, độ dài của một khoảng là bất biến đối với phép tịnh tiến.

Nếu $a \leq c \leq d \leq b$ ta có $d - c \leq b - a$ . Vì vậy nếu một khoảng bị chặn $I$ được chứa trong một khoảng bị chặn $I'$ , độ dài của $I$ nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của $I'$ .

Nếu $n$ khoảng mở đôi một rời nhau $I_1, I_2, \ldots, I_n$ được chứa trong khoảng $[a, b]$ ( $a < b$ ), dễ thấy bằng quy nạp theo $n$ rằng, nếu $I_k = ]c_k, d_k[$ , tồn tại một phép hoán vị $\sigma$ của các chỉ số $k$ ( $1 \leq k \leq n$ ) sao cho $d_{\sigma(k)} \leq c_{\sigma(k+1)}$ với $1 \leq k \leq n - 1$ . Suy ra ngay lập tức rằng tổng các độ dài của các khoảng $I_k$ nhiều nhất bằng độ dài của $[a, b]$ , và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $c_{\sigma(1)} = a, d_{\sigma(n)} = b$ và $d_{\sigma(k)} = c_{\sigma(k+1)}$ với $1 \leq k \leq n - 1$ .

6. Tính đồng dạng cộng tính của $\mathbf{R}$

Vì nhóm $\mathbf{R}$ có thứ tự tuyến tính, các hàm $x^+, x^-$ và $|x|$ được định nghĩa trên $\mathbf{R}$ theo cùng cách như trên $\mathbf{Q}$ và thỏa mãn mọi quan hệ được liệt kê ở trên đối với $\mathbf{Q}$ , đặc biệt là các quan hệ (1) đến (7). Cho $a$ là một số thực > 0 và cho $U_a$ là tập hợp tất cả các cặp $(x, y) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ sao cho $|x - y| < a$ ; khi $a$ chạy qua tập hợp các số thực > 0 (hoặc tập hợp các số $1/n$ ), các tập hợp $U_a$ tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của tính đồng dạng của nhóm cộng tính $\mathbf{R}$ của đường thẳng thực (được gọi là tính đồng dạng cộng tính của đường thẳng thực).

Các hàm $|x|$ , $x^+$ và $x^-$ là liên tục đều trên $\mathbf{R}$ , và các hàm $\sup(x, y)$ và $\inf(x, y)$ là liên tục đều trên $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ; do đó các hàm này trùng với các hàm thu được bằng cách mở rộng bởi tính liên tục các hàm tương ứng được định nghĩa trên $\mathbf{Q}$ và $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ , tương ứng.

Bài tập

Xem các bài tập cho § 1.