Exercice 28, § 1

a) Soient K un corps commutatif algébriquement clos, f un polynôme unitaire non constant de K[X], g un polynôme de K[X, Y] ; pour chacune des racines $\alpha_i$ de f, on suppose qu’il existe une racine $\beta_i$ de $g(\alpha_i, Y) = 0$ telle que $\frac{\partial g}{\partial Y} (\alpha_i, \beta_i) \neq 0$. Montrer qu’il existe un polynôme $h(X) \in K[X]$ tel que $g(X, h(X)) \equiv 0$ (mod. $f(X)$). (A l’aide de la prop. 4, se ramener au cas où $f(X) = X^m$ ($m \geq 1$) ; remarquer que l’anneau $K[X]/(X^m)$ est isomorphe à l’anneau quotient $K[[X]]/(X^m)$, et utiliser le cor. de IV, p. 35.) b) Montrer en particulier que si m est un entier non divisible par la caractéristique de K, pour tout couple de polynômes unitaires f et $f_0$ étrangers dans K[X], il existe un polynôme $h(X)$ dans K[X] tel que $(h(X))^m \equiv f_0(X)$ (mod. $f(X)$).