Bài tập 28, § 1

a) Cho $K$ là một trường giao hoán đóng đại số, $f$ là một đa thức đơn khởi không hằng trong $K[X]$, và $g$ là một đa thức trong $K[X, Y]$; giả sử rằng với mỗi nghiệm $\alpha_i$ của $f$ tồn tại một nghiệm $\beta_i$ của $g(\alpha_i, Y) = 0$ sao cho $\frac{\partial g}{\partial Y}(\alpha_i, \beta_i) \neq 0$. Khi đó hãy chứng minh rằng tồn tại một đa thức $h(X) \in K[X]$ sao cho $g(X, h(X)) \equiv 0$ (mod $f(X)$). (Dùng Mệnh đề 4, rút gọn về trường hợp $f(X) = X^m$ (với $m \geq 1$); chú ý rằng vành $K[X]/(X^m)$ đẳng cấu với vành thương $K[[X]]/(X^m)$, và dùng Hệ quả của IV, p. 37).

b) Đặc biệt hãy chứng minh rằng nếu $m$ là một số nguyên không chia hết cho đặc số của $K$, thì với mọi cặp đa thức đơn khởi nguyên tố cùng nhau $f$ và $f_0$ trong $K[X]$, tồn tại một đa thức $h(X)$ trong $K[X]$ sao cho $(h(X))^m \equiv f_0(X)$ (mod $f(X)$).