Exercice 8, § 1

Soit $K$ un corps quadratique, c’est-à-dire une extension de degré 2 de $\mathbf{Q}$. a) Montrer que l’on a $K = \mathbf{Q}(e)$ où $e^2$ est un entier rationnel $d \neq 1$ non divisible par un carré $> 1$ (dans $\mathbf{Z}$). b) Si $\alpha = a + be$ ($a \in \mathbf{Q}, b \in \mathbf{Q}$), on note $\overline{\alpha}$ le conjugué $a - be$ de $\alpha$. On dit que $\alpha$ est un entier du corps quadratique $K$ si sa norme $\alpha \overline{\alpha}$ et sa trace $\alpha + \overline{\alpha}$ sont des entiers rationnels. Montrer que les entiers de $K$ forment un anneau $A$ (remarquer que, si $\alpha$ et $\beta$ sont des entiers de $K$, la somme et le produit des nombres rationnels $\alpha \beta + \alpha \overline{\beta}$ et $\alpha \overline{\beta} + \beta \overline{\alpha}$ sont des entiers, donc que ces nombres rationnels sont des racines d’un polynôme unitaire sur $\mathbf{Z}$; en déduire que ce sont des entiers rationnels). c) Montrer que les entiers de $K = \mathbf{Q}(e)$ forment un $\mathbf{Z}$-module ayant pour base $(1, e)$ si $d - 1 \not\equiv 0$ (mod. 4), et $(\frac{1}{2}(1 + e), \frac{1}{2}(1 - e))$ si $d - 1 \equiv 0$ (mod. 4) (si $a + be$ est un entier de $K$, constater que $2a$ et $2b$ sont des entiers rationnels tels que $(2a)^2 - d(2b)^2 \equiv 0$ (4), et étudier s’ils peuvent être impairs). Montrer que les discriminants de ces bases (III, p. 115, déf. 3) sont respectivement $4d$ et $d$.