§ 9. Normes et traces

Dans tout ce paragraphe, on note $K$ un anneau commutatif, $A$ une $K$ -algèbre, associative et unifère. Tout $A$ -module sera supposé muni de la structure de $K$ -module obtenue par restriction des scalaires à $K$ .

1. Normes et traces relatives à un module

Définition 1

Soit $M$ un $A$ -module admettant une base finie en tant que $K$ -module. Pour tout $a \in A$ , soit $a_M$ l’endomorphisme $x \mapsto ax$ du $K$ -module $M$ . La trace, le déterminant et le polynôme caractéristique de $a_M$ sont appelés respectivement la trace, la norme et le polynôme caractéristique de $a$ relativement à $M$ .

La trace et la norme de $a$ sont donc des éléments de $K$ , notés respectivement $\mathrm{Tr}_{M/K}(a)$ et $N_{M/K}(a)$ ; le polynôme caractéristique de $a$ est un élément de $K[X]$ , noté $\mathrm{Pc}_{M/K}(a; X)$ . On omet $K$ dans les notations précédentes lorsqu’il n’y a pas risque de confusion.

D’après les propriétés de la trace et du déterminant d’un endomorphisme (II, p. 78 et III, p. 90), on a les relations

(1)

\mathrm{Tr}_M(a + a') = \mathrm{Tr}_M(a) + \mathrm{Tr}_M(a')

(2)

\mathrm{Tr}_M(aa') = \mathrm{Tr}_M(a'a)

(3)

N_M(aa') = N_M(a)N_M(a')

quels que soient $a, a'$ dans $A$ .

Soient $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base du $K$ -module $M$ , et $(m_{ij}(a))$ la matrice de l’endomorphisme $a_M$ par rapport à cette base. Les fonctions $m_{ij}$ sont des formes linéaires sur le $K$ -module $A$ , et l’on a

(4)

\mathrm{Tr}_M(a) = \sum_{i=1}^n m_{ii}(a)

(5)

N_M(a) = \det(m_{ij}(a))

(6)

\mathrm{Pc}_M(a; X) = \det(\delta_{ij}X - m_{ij}(a)).

Il résulte de III, p. 107, formule (50), que l’on a

(7)

\mathrm{Pc}_M(a; X) = X^n + c_1 X^{n-1} + \cdots + c_n

avec

(8)

c_1 = -\mathrm{Tr}_M(a), \quad c_n = (-1)^n N_M(a).

Pour $\lambda \in K$ , on a

(9)

\mathrm{Tr}_M(\lambda) = n.\lambda, \quad N_M(\lambda) = \lambda^n, \quad \mathrm{Pc}_M(\lambda; X) = (X - \lambda)^n.

Soit $K'$ une $K$ -algèbre commutative. Posons $M' = K' \otimes_K M$ et $A' = K' \otimes_K A$ , de sorte que $M'$ est muni d’une structure de $A'$ -module (III, p. 40, Exemple 2). En tant que $K'$ -module, $M'$ admet la base formée des $1 \otimes e_i$ ( $1 \leq i \leq n$ ) et la matrice de $a_M$ par rapport à $(e_i)$ est égale à la matrice de $(1 \otimes a)_{M'}$ par rapport à $(e'_i)$ . On a donc

(12)

\mathrm{Tr}_{M'}(1 \otimes a) = \mathrm{Tr}_M(a).1, \quad N_{M'}(1 \otimes a) = N_M(a).1

\mathrm{Pc}_{M'}(1 \otimes a; X) = \mathrm{Pc}_M(a; X).1

pour tout $a \in A$ , où $1$ désigne l’élément unité de $K'$ . Si l’on prend en particulier $K' = K[X]$ , on a

(13) \quad \mathrm{Pc}_{M/K}(a; X) = N_{M[X]/K[X]}(X - a).

2. Propriétés des traces et normes relatives à un module

Si $M$ et $M'$ sont deux $A$ -modules isomorphes, ayant des bases finies sur $K$ , on a, pour tout $a \in A$

(14) \quad \mathrm{Tr}_{M'}(a) = \mathrm{Tr}_M(a), \quad N_{M'}(a) = N_M(a), \quad \mathrm{Pc}_{M'}(a; X) = \mathrm{Pc}_M(a; X)

car si

f

est un isomorphisme de

M

sur

M'

, la matrice de

a_M

par rapport à une base

B

M

sur

K

est la même que la matrice de

a_M

par rapport à la base

f(B)

M'

Proposition 1

Soit $M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots \supset M_r = \{0\}$ une suite décroissante de sous-modules d’un $A$ -module $M$ , telle que chacun des $K$ -modules $P_i = M_{i-1}/M_i$ ( $1 \leq i \leq r$ ) admette une base finie. Alors le $K$ -module $M$ admet une base finie et l’on a*

\mathrm{Tr}_M(a) = \sum_{i=1}^r \mathrm{Tr}_{P_i}(a), \qquad N_M(a) = \prod_{i=1}^r N_{P_i}(a)

(15) \qquad \mathrm{Pc}_M(a; X) = \prod_{i=1}^r \mathrm{Pc}_{P_i}(a; X).

Soit

B'_i

une base de

P_i

sur

K

; alors un système de représentants

B_i

B'_i

(mod.

M_i

) est une base d’un supplémentaire du

K

-module

M_i

dans le

K

-module

M_{i-1}

(II, p. 27, prop. 21). La réunion

B

des

B_i

(

1 \leq i \leq r

) est une base de

M

sur

K

. Soit

X_{ii}

la matrice de l’endomorphisme

a_{P_i}

par rapport à la base

B'_i

. Il est immédiat que la matrice de

a_M

par rapport à la base

B

est de la forme

\begin{pmatrix} X_{rr} & X_{r,r-1} & \ldots & X_{r,1} \\ 0 & X_{r-1,r-1} & \ldots & X_{r-1,1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \ldots & X_{11} \end{pmatrix}

et la proposition résulte des formules (4), (5) et (6) de III, p. 108 et de la formule (31) de III, p. 101.

Proposition 2

Soient $A, A'$ deux $K$ -algèbres, $M$ un $A$ -module et $M'$ un $A'$ -module. On suppose que $M$ et $M'$ sont des $K$ -modules libres de dimensions respectives $n$ et $n'$ , et on considère $M \otimes_K M'$ comme un $(A \otimes_K A')$ -module (III, p. 40, Exemple 2). Alors, pour $a \in A$ et $a' \in A_1$ , on a*

(16) \qquad \mathrm{Tr}_{M \otimes M'}(a \otimes a') = \mathrm{Tr}_M(a) \mathrm{Tr}_{M'}(a')

(17) $N_{M \otimes M'}(a \otimes a') = (N_M(a))^{n'}(N_{M'}(a'))^n.$

En effet, la formule (16) résulte de II, p. 80, formule (26) et la formule (17) de III, p. 101, formule (33).

3. Norme et trace dans un algèbre

Définition 2

Soit $A$ une $K$ -algèbre qui soit un $K$ -module libre de dimension finie. Pour tout élément $a \in A$ , on appelle trace (resp. norme, $^1$ resp. polynôme caractéristique) de $a$ relativement à $A$ et à $K$ la trace (resp. le déterminant, resp. le polynôme caractéristique) de l’endomorphisme $x \mapsto ax$ du $K$ -module $A$ .

On note $\mathrm{Tr}_{A/K}(a)$ , $N_{A/K}(a)$ et $\mathrm{Pc}_{A/K}(a; X)$ la trace, la norme et le polynôme caractéristique de $a \in A$ relativement à $A$ et $K$ ; on omet $K$ (et même $A$ ) dans ces notations lorsqu’il n’y a pas risque de confusion. On notera que la trace (resp. la norme, le polynôme caractéristique) de $a \in A$ n’est autre que la trace (resp. la norme, le polynôme caractéristique) de $a$ relativement au $A$ -module $A_s$ .

Supposons que $A$ soit le produit $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_m$ d’un nombre fini d’algèbres qui soient des $K$ -modules libres de dimensions finies sur $K$ . Utilisant la remarque précédente et la prop. 1 de III, p. 109, on a, pour tout élément $a = (a_1, \ldots, a_m) \in A$

\mathrm{Tr}_{A/K}(a) = \sum_{i=1}^m \mathrm{Tr}_{A_i/K}(a_i), \quad N_{A/K}(a) = \prod_{i=1}^m N_{A_i/K}(a_i)

\mathrm{Pc}_{A/K}(a; X) = \prod_{i=1}^m \mathrm{Pc}_{A_i/K}(a_i; X).

De même, la prop. 2 de III, p. 109 montre que si $A$ et $A'$ sont deux algèbres qui soient des $K$ -modules libres de dimensions finies $n, n'$ respectivement sur $K$ , on a, pour $a \in A, a' \in A'$ ,

\mathrm{Tr}_{A \otimes A'}(a \otimes a') = \mathrm{Tr}_A(a) \mathrm{Tr}_{A'}(a')

N_{A \otimes A'}(a \otimes a') = (N_A(a))^{n'}(N_{A'}(a'))^n.

Enfin, soient $A$ une algèbre qui soit un $K$ -module libre de dimension finie sur $K$ , $h$ un homomorphisme de $K$ dans un anneau commutatif $K'$ , $A' = A_{(K')}$ , la $K'$ -algèbre déduite de $A$ par extension des scalaires au moyen de $h$ . Il résulte de la formule (12) de III, p. 108 que, pour tout $a \in A$ , on a

\mathrm{Tr}_{A'/K'}(1 \otimes a) = h(\mathrm{Tr}_{A/K}(a)), \quad N_{A'/K'}(1 \otimes a) = h(N_{A/K}(a))

\mathrm{Pc}_{A'/K'}(1 \otimes a; X) = h(\mathrm{Pc}_{A/K}(a; X))

$^1$ On ne confondra pas cette notion avec la notion de norme dans une algèbre sur un corps valué (TG, IX, § 3, no 7).

h étant l’homomorphisme K[X] → K'[X] déduit de h. En particulier, pour K' = K[X], on a, en posant A[X] = A ⊗_K K[X],

\mathrm{Pc}_{A/K}(a; X) = N_{A[X]/K[X]}(X - a).

Plus généralement, si K' est une K-algèbre commutative et A' = A ⊗_K K', on a, pour tout x ∈ A',

\mathrm{Pc}_{A/K}(a; x) = N_{A'/K'}(x - a).

Exemple 1

Soient A une algèbre quadratique sur K de type (\alpha, \beta), (e_1, e_2) une base de type (\alpha, \beta) (III, p. 12 et 13). Pour x = \xi e_1 + \eta e_2, on a Tr_{A/K}(x) = 2\xi + \beta\eta et N_{A/K}(x) = \xi^2 + \beta\xi\eta - \alpha\eta^2; ces fonctions sont donc identiques à la trace et à la norme cayleyennes de x (III, p. 14 et p. 15).

Exemple 2

Soit A une algèbre de quaternions sur K. Un calcul direct permet de vérifier que l’on a Tr_{A/K}(x) = 2 T(x) et N_{A/K}(x) = (N(x))^2, où T et N sont la trace et la norme cayleyennes (III, p. 15).

Exemple 3

Soit A = M_n(K), et rangeons la base canonique (E_{ij}) de A (II, p. 142) dans l’ordre lexicographique. On voit alors aussitôt que pour toute matrice X = \sum_{i,j} \xi_{ij} E_{ij}, la matrice (d’ordre n^2) de l’endomorphisme Y \to XY a la forme

\begin{pmatrix} X & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & X & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & X \end{pmatrix}

d’où Tr_{A/K}(X) = n \cdot \mathrm{Tr}(X) et N_{A/K}(X) = (\det(X))^n.

4. Propriétés des normes et traces dans une algèbre

Proposition 3

Soit A une K-algèbre admettant une base finie. Pour qu’un élément a \in A soit inversible, il faut et il suffit que sa norme N_{A/K}(a) soit inversible dans K.

Si a admet un inverse a' dans A, on a

N_{A/K}(a) N_{A/K}(a') = N_{A/K}(aa') = N_{A/K}(1) = 1

d’après la formule (3) de III, p. 108. Réciproquement, si N_{A/K}(a) est inversible, l’endomorphisme h : x \mapsto ax est bijectif (III, p. 91, th. 1). Il existe donc a' \in A tel que aa' = 1 ; on a alors $h(a'a - 1) = aa'a - a = (aa' - 1)a = 0$ , d’où $a'a = 1$ puisque h est injectif. Donc a' est l’inverse de a.

Proposition 4

Soit A une K-algèbre admettant une base finie. Pour tout a \in A, on a

\mathrm{Pc}_{A/K}(a; a) = 0.

Cela résulte immédiatement du th. de Hamilton-Cayley (III, p. 107, prop. 20).

Proposition 5

Soient A une K-algèbre, m un idéal bilatère de A. On suppose que A_0 = A/m est un K-module libre de dimension finie n, qu’il existe un entier r > 0 tel que m^r = \{0\}, et que m^{i-1}/m^i est un A_0-module libre de dimension finie s_i pour 1 \leq i \leq r.

Posons $s = s_1 + \cdots + s_r$ et pour tout $a \in A$ , notons $a_0$ la classe de $a$ mod. m. Alors $A$ est un $K$ -module libre de dimension $ns$ , et pour tout $a \in A$ , on a

\text{Tr}_A(a) = s \cdot \text{Tr}_{A_0}(a_0), \quad N_A(a) = (N_{A_0}(a_0))^s \\ \text{Pc}_A(a; X) = (\text{Pc}_{A_0}(a_0; X))^s

En vertu de II, p. 31, prop. 25,

m^{i-1}/m^i

est un

K

-module libre de dimension

ns_i

. On peut donc appliquer la prop. 1 de III, p. 109 avec

P_i = m^{i-1}/m^i

; cela montre en premier lieu que

A

est un

K

-module libre de dimension

n(s_1 + \cdots + s_r) = ns

. En outre, l’hypothèse entraîne que le

A

-module

P_i

est isomorphe à une somme directe de

s_i

sous-modules isomorphes au

A

-module

A_0

; en vertu de la prop. 1 de III, p. 109, on a donc

N_{P_i}(a) = N_{A_0}(a)^{s_i}

; finalement, on a donc

N_A(a) = N_{A_0}(a)^s.

Dans cette formule,

N_{A_0}(a)

est défini en considérant

A_0

comme

A

-module à gauche, et il est égal au déterminant de l’application

K

-linéaire

x \mapsto ax

A_0

dans lui-même; mais comme

ax = a_0 x

pour

x \in A_0

, on a

N_{A_0}(a) = N_{A_0}(a_0)

, ce qui achève de prouver la formule (23) relative à la norme. Les deux autres se démontrent de façon analogue.

Proposition 6

Soient $A$ une $K$ -algèbre commutative admettant une base finie sur $K$ , $V$ un $A$ -module admettant une base finie sur $A$ . Alors $V$ admet une base finie sur $K$ , et pour tout $A$ -endomorphisme $u$ de $V$ , si $u_K$ est l’application $u$ considérée comme $K$ -endomorphisme de $V$ on a

\text{Tr}(u_K) = \text{Tr}_{A/K}(\text{Tr}(u)), \quad \det(u_K) = N_{A/K}(\det(u)) \\ \text{Pc}(u_K; X) = N_{A[X]/K[X]}(\text{Pc}(u; X))

Soient

(a_i)_{1 \leq i \leq m}

une base de

A

sur

K

(e_j)_{1 \leq j \leq n}

une base de

V

sur

A

; alors

(a_i e_j)

est une base de

V

sur

K

(II, p. 31, prop. 25). D’autre part la troisième des formules (24) se déduit de la seconde appliquée à l’endomorphisme

X - \bar{u}

A[X]

-module

A[X] \otimes_A V

(III, p. 106). Il suffira donc de démontrer les deux premières formules (24). Nous établirons d’abord le lemme suivant:

Lemme 1

Soient $X_{ij}$ ( $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$ ) $n^2$ indéterminées, $X$ la matrice carrée $(X_{ij})$ d’ordre $n$ , $D(X_{11}, \ldots, X_{nn}) \in \mathbf{Z}[X_{11}, \ldots, X_{nn}]$ le déterminant $\det(X)$ . Soient d’autre part $A$ un anneau commutatif, $M_{ij}$ ( $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$ ) $n^2$ matrices carrées d’ordre $m$ sur $A$ , deux à deux permutables, et $M$ la matrice carrée d’ordre $mn$ sur $A$ qui se met sous la forme d’une matrice carrée de matrices (II, p. 152)

M = \begin{pmatrix} M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1n} \\ M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ M_{n1} & M_{n2} & \cdots & M_{nn} \end{pmatrix}

Alors le déterminant de $M$ est égal au déterminant de la matrice carrée $D(M_{11}, \ldots, M_{nn})$ d’ordre $m$ .

Nous procéderons par récurrence sur $n$ , les cas $n = 0$ et $n = 1$ étant triviaux. Soient $Z$ un nouvelle indéterminée, et $N_{ij}$ la matrice $M_{ij} + \delta_{ij} Z I_m$ ( $\delta_{ij}$ indice de Kronecker). Si $D^{ij}(X_{11}, \ldots, X_{nn})$ est le cofacteur de $X_{ij}$ dans la matrice $X$ (III, p. 99), on a

\sum_{i=1}^n X_{ji} D^{ki}(X_{11}, \ldots, X_{nn}) = \delta_{jk} D(X_{11}, \ldots, X_{nn})

(III, p. 99, formule (28)). Posons

N'_{ij} = D^{ij}(N_{11}, \ldots, N_{nn})

, qui est une matrice carrée d’ordre

m

sur

A[Z]

, et considérons le produit

N.U

où

U = \begin{pmatrix} N'_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ N'_{12} & I_m & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ N'_{1n} & 0 & \cdots & I_m \end{pmatrix} \quad N = \begin{pmatrix} N_{11} & N_{12} & \cdots & N_{n1} \\ N_{21} & N_{22} & \cdots & N_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ N_{n1} & N_{n2} & \cdots & N_{nn} \end{pmatrix}

En effectuant ce produit par blocs (II, p. 148) et utilisant les formules (25), il vient

N.U = \begin{pmatrix} P & N_{12} & \cdots & N_{1n} \\ 0 & N_{22} & \cdots & N_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & N_{n2} & \cdots & N_{nn} \end{pmatrix}

où on a posé

P = D(N_{11}, \ldots, N_{nn})

. Soit

Q = \begin{pmatrix} N_{22} & \cdots & N_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ N_{n2} & \cdots & N_{nn} \end{pmatrix}

qui est une matrice d’ordre

m(n-1)

; on a (III, p. 101, formule (31))

(\det N)(\det U) = (\det P)(\det Q)

\det U = \det N'_{11}

. Mais d’après l’hypothèse de récurrence, on a

\det Q = \det(D^{11}(N_{11}, \ldots, N_{nn})) = \det N'_{11}

, et en vertu de la définition des

N_{ij}

, il est clair que

\det Q

est un polynôme de

A[Z]

, de degré

m(n-1)

, dont le terme en

Z^{m(n-1)}

a pour coefficient 1 ; on en déduit aussitôt que

\det Q

n’est pas diviseur de zéro dans l’algèbre graduée

A[Z]

. On en conclut donc que

\det N = \det(D(N_{11}, \ldots, N_{nn}))

dans

A[Z]

; si on substitue 0 à

Z

dans ces polynômes, il vient

\det M = \det(D(M_{11}, \ldots, M_{nn}))

Ce lemme étant démontré, le K-module V est somme directe des K-modules $Ae_j$ ( $1 \leq j \leq n$ ); posons $u(e_j) = \sum_{k=1}^n c_{jk} e_k$ . Pour tout élément $x e_j \in Ae_j$ , avec $x \in A$ , la composante de $u(x e_j)$ dans $Ae_k$ est $x c_{jk} e_k$ ; on en conclut que la matrice de $u_K$ par rapport à la base $(a_i e_j)$ du K-module V se met sous forme d’une matrice carrée de matrices $(M_{jk})$ , où $M_{jk}$ est la matrice de l’application K-linéaire $x e_j \mapsto x c_{j k} e_k$ de $A e_j$ dans $A e_k$ , par rapport aux bases $(a_i e_j)_{1 \leq i \leq m}$ et $(a_i e_k)_{1 \leq i \leq m}$ de ces deux $K$ -modules (II, p. 147). Si pour tout $t \in A$ , on note $M(t)$ la matrice, pour rapport à la base $(a_i)_{1 \leq i \leq m}$ de $A$ sur $K$ , de l’endomorphisme $x \mapsto xt$ de $A$ , on a $M_{jk} = M(c_{jk})$ ; comme $t \mapsto M(t)$ est un homomorphisme d’anneaux les matrices $M_{jk}$ sont deux à deux permutables. On a donc $\det u_K = \det(D(M_{11}, \ldots, M_{nn}))$ en vertu du lemme 1. Mais comme $t \mapsto M(t)$ est un homomorphisme d’anneaux, $D(M_{11}, \ldots, M_{nn})$ est la matrice du $K$ -endomorphisme $x \mapsto x.\det(c_{jk})$ de $A$ par rapport à la base $(a_i)$ ; par définition son déterminant est donc $N_{A/K}(\det(u))$ , ce qui prouve la seconde formule (24). D’autre part, on a $\operatorname{Tr}(u_K) = \sum_{j=1}^n \operatorname{Tr}(M_{jj}) = \sum_{j=1}^n \operatorname{Tr}_{A/K}(c_{jj}) = \operatorname{Tr}_{A/K}\left( \sum_{j=1}^n c_{jj} \right) = \operatorname{Tr}_{A/K}(\operatorname{Tr}(u))$ , et la prop. 6 est ainsi complètement démontrée.

Corollaire

Soient $A$ une $K$ -algèbre commutative admettant une base finie sur $K$ , $B$ une $A$ -algèbre admettant une base finie sur $A$ . Alors $B$ admet une base finie sur $K$ , et pour tout $b \in B$ , on a (« formules de transitivité »)

\operatorname{Tr}_{B/K}(b) = \operatorname{Tr}_{A/K}(\operatorname{Tr}_{B/A}(b)), \quad N_{B/K}(b) = N_{A/K}(N_{B/A}(b))

\mathrm{Pc}_{B/K}(b; X) = N_{A[X]/K[X]}(\mathrm{Pc}_{B/A}(b; X)).

Cela résulte immédiatement de la prop. 6, où l’on fait $V = B$ et $u(x) = bx$ .

Remarque

Supposons que l’homomorphisme $\lambda \mapsto \lambda . 1$ de $K$ dans $A$ soit injectif, et identifions $K$ à son image dans $A$ ; supposons que $A$ admette une base finie $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ en tant que $K$ -module. Soit $s$ un automorphisme de $A$ tel que $s(K) = K$ . Soit $a$ un élément de $A$ ; on a, par transport de structure,

\operatorname{Tr}_{A/K}(s(a)) = s(\operatorname{Tr}_{A/K}(a))

N_{A/K}(s(a)) = s(N_{A/K}(a)).

\* Considérons par ailleurs une dérivation $D$ de $A$ (III, p. 118) telle que $D(K) \subset K$ , et posons $D(e_i) = \sum_{j=1}^n e_j \mu_{ji}$ avec $\mu_{ji} \in K$ ; posons

ae_i = \sum_{j=1}^n e_j \lambda_{ji} \quad \text{avec } \lambda_{ji} \in K.

On a

D(a)e_i + aD(e_i) = D(ae_i) = \sum_{j=1}^n (D(e_j)\lambda_{ji} + e_j D(\lambda_{ji})).

On en déduit que l’on a

D(a)e_i = \sum_{j=1}^n e_j v_{ji}

avec $v_{ji} = D(\lambda_{ji}) + \sum_{k=1}^{n} (\mu_{jkl}\lambda_{ki} - \lambda_{jkl}\mu_{ki})$ . Comme $\sum_{i,k} (\mu_{ik}\lambda_{ki} - \lambda_{ik}\mu_{ki}) = 0$ , on a donc $\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(D(a)) = \sum_{i=1}^{n} D(\lambda_{ii})$ , autrement dit

\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(D(a)) = D(\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(a)).*

5. Discriminant d’une algèbre

Définition 3

Soit $A$ une $\mathbf{K}$ -algèbre admettant une base finie de $n$ éléments. On appelle discriminant d’une suite $(x_1, \ldots, x_n)$ de $n$ éléments de $A$ , par rapport à $\mathbf{K}$ , et l’on note $D_{A/\mathbf{K}}(x_1, \ldots, x_n)$ le déterminant de la matrice carrée $(\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x_i x_j))_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}$ .

Considérons d’abord une base $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $A$ sur $\mathbf{K}$ , et posons

e_i e_j = \sum_{k=1}^{n} c_{ijl} e_k \quad \text{avec } c_{ijl} \in \mathbf{K}.

On a donc

\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(e_i) := \sum_{s=1}^{n} c_{iss}

, d’où

\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(e_i e_j) = \sum_{k,s} c_{ijk} c_{kss}

, et par suite

D_{A/\mathbf{K}}(e_1, \ldots, e_n) = \det((\sum_{k,s} c_{ijk} c_{kss})_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}).

Soient maintenant

(x_i)_{1 \leq i \leq n}

(x'_i)_{1 \leq i \leq n}

deux suites de

n

éléments de

A

, et supposons qu’il existe une matrice carrée d’ordre

n

M = (m_{ij})

à coefficients dans

\mathbf{K}

, telle que

x_i = \sum_{j=1}^{n} m_{ij} x'_j

pour

1 \leq i \leq n

. Posons

T = (\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x_i x_j))_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}, \qquad T' = (\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x'_i x'_j))_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}.

On a

\mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x_i x_j) = \sum_{p,q} m_{ip} m_{jq} \mathrm{Tr}_{A/\mathbf{K}}(x'_p x'_q)

, d’où

T = M . T . {}^t M

; la règle de multiplication des déterminants donne donc

\det T = \det M . \det T' . \det {}^t M = (\det M)^2 \det T'

d’où finalement

D_{A/\mathbf{K}}(x_1, \ldots, x_n) = (\det M)^2 D_{A/\mathbf{K}}(x'_1, \ldots, x'_n).

La formule précédente montre en particulier que les discriminants de deux bases de

A

sur

\mathbf{K}

diffèrent par multiplication par le carré d’un élément inversible de

\mathbf{K}

, et engendrent donc le même idéal (principal) de

\mathbf{K}

. Cet idéal

\Delta_{A/\mathbf{K}}

s’appelle l’idéal discriminant de

A

sur

\mathbf{K}

; en vertu de la formule (32), le discriminant de toute suite de

n

éléments de

A

appartient à

\Delta_{A/\mathbf{K}}

. On notera que deux suites de

n

éléments de

A

qui ne diffèrent que par l’ordre des termes ont même discriminant, car le déterminant d’une matrice de permutation est égal à

\pm 1

Exemple 1

Si $A$ est une algèbre quadratique de type $(\alpha, \beta)$ sur $\mathbf{K}$ , on a (avec les notations de III, p. 12) $\operatorname{Tr}(e_1) = 2,\ \operatorname{Tr}(e_2) = \beta,\ \operatorname{Tr}(e_2^2) = \alpha \operatorname{Tr}(e_1) + \beta \operatorname{Tr}(e_2) = 2\alpha + \beta^2$ , d’où $D_{A/K}(e_1, e_2) = \beta^2 + 4\alpha$ .

Exemple 2

Soit $A = K[X]/K[X]P$ , où $P(X) = X^3 + pX + q$ , de sorte que si $x$ est l’image de $X$ dans $A$ , $1, x, x^2$ forment une base de $A$ sur $K$ et $x^3 = -px - q$ . On voit aussitôt que $\operatorname{Tr}(1) = 3,\ \operatorname{Tr}(x) = 0,\ \operatorname{Tr}(x^2) = -2p$ , et en tenant compte de la relation $x^3 = -px - q,\ \operatorname{Tr}(x^3) = -3q$ et $\operatorname{Tr}(x^4) = 2p^2$ , d’où facilement $D_{A/K}(1, x, x^2) = -4p^3 - 27q^2$ .

Exemple 3

Soit $A$ une algèbre de quaternions de type $(\alpha, \beta, \gamma)$ sur $K$ , $(1, i, j, k)$ une base de $A$ de type $(\alpha, \beta, \gamma)$ ; compte tenu de III, p. 18, formule (30), on trouve aisément $\operatorname{Tr}(1) = 4,\ \operatorname{Tr}(i) = 2\beta,\ \operatorname{Tr}(j) = \operatorname{Tr}(k) = 0$ , puis

D_{A/K}(1, i, j, k) = -16\gamma^2(\beta^2 + 4\alpha)^2.

Exemple 4

Soit $A = M_n(K)$ , et considérons la base canonique $(E_{ij})_{1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n}$ de $A$ sur $K$ (II, p. 142). Il est immédiat que $\operatorname{Tr}_{A/K}(E_{ij}) = 0$ si $j \neq i$ et $\operatorname{Tr}_{A/K}(E_{ii}) = n$ pour tout $i$ ; on en déduit sans peine que la matrice $(\operatorname{Tr}(E_{ij}E_{hk}))$ d’ordre $n^2$ est de la forme $n.P$ , où $P$ est une matrice de permutation, d’où $D_{A/K}((E_{ij})) = \pm n^{n^2}$ .

Exercices

See the exercises for § 9.