Cho $x \in E$ sao cho $u(x) = e$. Khi đó $p(x) = p'(u(x)) = e$, do đó $x \in i(F)$. Lấy $y \in F$ sao cho $x = i(y)$; khi đó $i'(y) = u(i(y)) = e$. Vì $i'$ là đơn ánh, nên $y = e$ và $x = e$. Vậy $u$ là đơn ánh. Theo § 4, no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 7, $u$ là toàn ánh vì $u(i(F)) = i'(F)$. Khẳng định cuối cùng là ngay lập tức.

Nói cách khác, các mở rộng $\mathscr{E}$ và $\mathscr{E}'$ là đẳng cấu khi và chỉ khi tồn tại một cấu xạ từ $\mathscr{E}$ vào $\mathscr{E}'$.

Cho $F$ và $G$ là hai nhóm và đặt $E_0 = F \times G$; cho $i: F \to E_0$ là đơn ánh chính tắc và $p: E_0 \to G$ là phép chiếu chính tắc. Mọi mở rộng của $G$ bởi $F$ đẳng cấu với mở rộng $\mathscr{E}_0: F \xrightarrow{i} E_0 \xrightarrow{p} G$ được gọi là một mở rộng tầm thường.

(i) $\mathscr{E}$ là một mở rộng tầm thường; (ii) $\mathscr{E}$ có một co ánh $r$; (iii) $\mathscr{E}$ có một tiết diện $s$ sao cho $s(G)$ được chứa trong bộ tập trung hóa của $i(F)$.

Rõ ràng (i) suy ra (ii) và (iii). Nếu (ii) đúng, ánh xạ $(r, p): E \to F \times G$ là một cấu xạ từ $\mathscr{E}$ vào $\mathscr{E}_0$, do đó suy ra (i). Nếu (iii) đúng, đồng cấu từ $F \times G$ vào $E$ tương ứng với $(i, s)$ ($\S$ 4, no. 9, mệnh đề 12) là một cấu xạ từ $\mathscr{E}_0$ vào $\mathscr{E}$, do đó suy ra (i).

Có thể xảy ra trường hợp một mở rộng $\mathscr{E}: F \to E \to G$ không tầm thường mà nhóm $E$ lại đẳng cấu với $F \times G$ (Bài tập 6).

Ta có:

Bây giờ $g(f'.g'f'') = gf'.gg'f''$, điều đó cho thấy luật hợp thành được xác định bởi (1) là kết hợp. Phần tử $(e, e)$ là phần tử đơn vị đối với luật này. Phần tử $(f, g)$ có phần tử nghịch đảo là $(g^{-1}f^{-1}, g^{-1})$. Do đó luật hợp thành trên $F \times_{\tau} G$ là một luật nhóm. Các khẳng định khác là ngay lập tức.

Dùng ký hiệu của Mệnh đề 3, $\mathscr{E}_{\tau}$ sẽ ký hiệu mở rộng

Cho $\mathscr{E}' : F \xrightarrow{i'} E' \xrightarrow{p'} G$ là một mở rộng của $G$ bởi $F$ và $s' : G \to E'$ là một tiết diện của $\mathscr{E}'$. Ta định nghĩa một phép toán $\tau$ của $G$ trên nhóm $F$ bởi:

(2)

Vì vậy, $u$ là một đồng cấu của $F \times_{\tau} G$ vào $E'$. Hiển nhiên $u \circ i = i'$, $p' \circ u = p$ và $u \circ s = s'$.

Dưới các giả thiết của hệ quả này, $G$ được gọi là tích nửa trực tiếp của $K$ bởi $H$.

(i) Nhóm con $A$ chuẩn hóa nhóm con $(A, B)$.

(ii) Nếu nhóm con $(B, C)$ chuẩn hóa $A$, thì nhóm con $(A, (B, C))$ được sinh bởi các phần tử $(a, (b, c))$ với $a \in A, b \in B$ và $c \in C$.

(iii) Nếu $A, B$ và $C$ là chuẩn tắc, thì

Theo (4 bis), với $a, a' \in A$ và $b \in B$,

do đó suy ra (i). Bây giờ giả sử rằng $(B, C)$ chuẩn hóa $A$. Với $a \in A, b \in B, c \in C$ và $x \in G$, (4) suy ra

và $((b, c), a) \in A$ vì $(B, C)$ chuẩn hoá $A$, do đó bằng quy nạp theo $p$ suy ra rằng $\left( a, \prod_{i=1}^p (b_i, c_i) \right)$, với $b_i \in B, c_i \in C$, thuộc nhóm con sinh bởi các phần tử có dạng $(a, (b, c))$. Cuối cùng, nếu $A, B$ và $C$ là các nhóm con chuẩn tắc, thì các nhóm con $(A, (B, C))$, $(C, (B, A))$ và $(B, (C, A))$ cũng vậy. Vì thế theo (ii) chỉ cần chỉ ra rằng

với mọi $a \in A, b \in B$ và $c \in C$. Bây giờ theo (5), viết $a^{b^{-1}} = u$

do đó có (iii).

Ảnh qua $f$ của một giao hoán tử của các phần tử của $G$ là một giao hoán tử của các phần tử của $G'$. Nếu $f$ là toàn ánh, ảnh qua $f$ của tập hợp các giao hoán tử của $G$ là tập hợp các giao hoán tử của $G'$. Do đó mệnh đề suy ra từ § 4, no. 3, Hệ quả 3 của Mệnh đề 2.

Bây giờ $\pi(D(G)) = \{e\}$. Vì $\pi$ là toàn ánh, suy ra $D(G/D(G)) = \{e\}$, do đó có mệnh đề thứ nhất. Mệnh đề thứ hai suy ra từ § 4, no. 4, Mệnh đề 5.

(i) $H \supset D(G)$; (ii) H là một nhóm con chuẩn tắc và $G/H$ là giao hoán. (ii) $\Rightarrow$ (i) theo Hệ quả 2 và (i) $\Rightarrow$ (ii) theo § 4, no. 7, Định lý 4, vì mọi nhóm con của một nhóm giao hoán đều là chuẩn tắc.

Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G sinh bởi các giao hoán tử của các phần tử của X và $\phi : G \to G/H$ là đồng cấu chính tắc. Tập $\phi(X)$ sinh ra $G/H$. Các phần tử của $\phi(X)$ giao hoán từng đôi một và do đó H là giao hoán (§ 4, no. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2). Vậy (Hệ quả 3) H chứa D(G). Mặt khác, hiển nhiên $H \subset D(G)$.

(a) $G$ lũy linh cấp $\leq n$. (b) Tồn tại một chuỗi các nhóm con của $G$:

(c) Tồn tại một nhóm con $A$ của $G$ được chứa trong tâm của $G$ sao cho $G/A$ lũy linh cấp $\leq n - 1$.

(a) $\Rightarrow$ (b): chỉ cần lấy $G^k = C^k(G)$. (b) $\Rightarrow$ (a): bằng quy nạp theo $k$, $C^k(G) \subset G^k$. (a) $\Rightarrow$ (c): chỉ cần lấy $A = C^n(G)$. (c) $\Rightarrow$ (a): gọi $\pi : G \to G/A$ là đồng cấu chính tắc; khi đó $\pi(C^n(G)) = C^n(G/A) = \{e\}$ và do đó $C^n(G) \subset A$, suy ra $C^{n+1}(G) = \{e\}$.

Nói vắn tắt hơn: một nhóm lũy linh cấp $\leq n$ nếu nó có thể thu được từ nhóm $\{e\}$ bằng $n$ mở rộng trung tâm liên tiếp.

thỏa mãn $H^{k+1}$ là chuẩn tắc trong $H^k$ và $H^k/H^{k+1}$ là giao hoán với mọi $k \leq n$.