Bài tập 10, § 2

Cho $p$ là một số nguyên tố, $q$ là một lũy thừa của $p, G$ là một nhóm hữu hạn có cấp $q$, và A là một vành giao hoán. Gọi $(e_g)$ là cơ sở chính tắc của đại số A[G] của nhóm G trên A.

a) Tập hợp $\mathfrak{a}$ gồm các phần tử $\sum a_ge_g$ của A[G] sao cho $\sum a_g= 0$ là một iđêan hai phía của A[G]. Nếu vành A có đặc số $p$ (V, §1, No. 2, p. 2), thì ta có $x^q= 0$ đối với mọi $x\in \mathfrak{a}$ (dùng quy nạp theo $q$; nếu $q\not= 1$, chọn một phần tử $h$ có cấp $p$ của tâm của G (I, §6, No. 5, p. 77, Hệ quả của Mệnh đề 11) và suy ra từ giả thiết quy nạp rằng tồn tại một $y\in A[G]$ sao cho $x^{q/p}= (1-e_h)y$).

b) Giả sử rằng A là một vành địa phương, với iđêan cực đại $\mathfrak{m}$, và trường $A/\mathfrak{m}$ có đặc số $p$. Chứng minh rằng vành A[G] là địa phương và iđêan cực đại của nó là tập hợp các phần tử $\sum a_ge_g\in A[G]$ sao cho $\sum a_g\in \mathfrak{m}$.

(Gọi S là một A[G]-môđun đơn; chứng minh rằng S bị triệt tiêu bởi $\mathfrak{m}$ và sau đó, bằng cách áp dụng Mệnh đề 11 của I, §6, No. 5, p. 76, cho $\mathbf{Z}$[G]-môđun con sinh bởi một phần tử khác không của S, suy ra rằng S chứa một phần tử bất biến dưới G.)