Exercice 10, § 2

Soient $p$ un nombre premier, $q$ une puissance de $p, G$ un groupe fini d’ordre $q$ et A un anneau commutatif. Soit $(e_g)$ la base canonique de l’algèbre A[G] du groupe G sur A.

a) L’ensemble $\mathfrak{a}$ des éléments $\sum a_ge_g$ de A[G] tels que $\sum a_g= 0$ est un idéal bilatère de A[G]. Si l’anneau A est de caractéristique $p$ (V, p. 2), on a $x^q= 0$ pour tout $x\in \mathfrak{a}$ (raisonner par récurrence sur $q$; si $q\not= 1$, choisir un élément $h$ d’ordre $p$ du centre de G (I, p. 73, cor. de la prop. 11) et déduire de l’hypothèse de récurrence qu’il existe $y\in A[G]$ tel que $x^{q/p}= (1-e_h)y$).

b) Supposons que A soit un anneau local, d’idéal maximal $\mathfrak{m}$, et que le corps $A/\mathfrak{m}$ soit de caractéristique $p$. Démontrer que l’anneau A[G] est local et que son idéal maximal est l’ensemble des éléments $\sum a_ge_g\in A[G]$ tels que $\sum a_g\in \mathfrak{m}$.

(Soit S un A[G]-module simple ; démontrer que S est annulé par$\mathfrak{m}$, puis, en appliquant la prop. 11 de I, p. 73 au sous-$\mathbf{Z}$[G]-module engendré par un élément non nul de S, que S contient un élément invariant par G.)