Bài tập 8, § 10

Cho K là một trường và N là một mở rộng Galois của K có bậc hữu hạn $n$. a) Cho $p$ là một số nguyên tố chia $n$ và cho $p'$ là lũy thừa cao nhất của $p$ chia $n$. Chứng minh rằng tồn tại các mở rộng con $L_i$ của N với $0 \leq i \leq r$ sao cho với $0 \leq i \leq r - 1$, $L_i$ chứa $L_{i-1}$, $L_0 = N$, $L_i$ là một mở rộng Galois bậc $p$ của $L_{i-1}$, và $[L_i : K]$ không chia hết cho $p$ (xem I, p. 77, Th. 1 và I, p. 78, Th. 2). b) Cho $x \in N$ sao cho N được sinh bởi x và các liên hợp của nó. Chứng minh rằng tồn tại một mở rộng con E của N sao cho $x \notin E$ và $[N : E] = p'$. (Xét các nhóm Sylow p $H_j$ của $\mathrm{Gal}(N/K)$ và nhóm con (chuẩn tắc) H được sinh bởi hợp của chúng; nếu $F_j$ (ứng với H_j, resp. F) là trường con bất biến của H, (resp. H) thì chứng minh rằng $x \notin F$ và suy ra rằng tồn tại một chỉ số j sao cho $x \notin F_j$; khi đó có thể lấy $E = F_j$.) Kết luận rằng tồn tại một mở rộng con L của N sao cho $L(x)$ là một mở rộng Galois bậc $p$ của L (dùng I, p. 77, Prop. 12). c) Ngược lại, cho $\Omega$ là một bao đóng đại số của N và giả sử rằng tồn tại một mở rộng con L của $\Omega$ sao cho $L(x)$ là Galois bậc $p$ trên L. Chứng minh rằng khi đó $p$ chia $n$. (Hãy nhận xét rằng $N \cap L(x) = (N \cap L)(x)$ và rằng $(N \cap L)(x)$ là một mở rộng Galois bậc $p$ của $N \cap L$.)