Exercice 8, § 10

Soient K un corps, N une extension galoisienne de K, de degré fini n. a) Soient p un nombre premier divisant n, et soit $p^r$ la plus grande puissance de p divisant n. Montrer qu’il existe des sous-extensions L_i de N pour $0 \leq i \leq r$, telles que, pour $0 \leq i \leq r - 1$, L_i contient $L_{i+1}$, $L_0 = N$, L_i est une extension galoisienne de $L_{i+1}$ de degré p, et $[L_r : K]$ n’est pas divisible par p (cf. I, p. 73, th. 1 et I, p. 74, th. 2). b) Soit $x \in N$ tel que N soit engendré par x et ses conjugués. Montrer qu’il existe une sous-extension E de N telle que $x \notin E$ et $[N : E] = p^r$. (Considérer les p-groupes de Sylow H_j de Gal(N/K), et le sous-groupe (distingué) H engendré par leur réunion ; si F_j (resp. F) est le sous-corps des invariants de H_j (resp. H), montrer que $x \notin F$ et en déduire qu’il existe un indice j tel que $x \notin F_j$; on peut prendre alors $E = F_j$). Conclure qu’il existe une sous-extension L de N telle que $L(x)$ soit une extension galoisienne de degré p de L (utiliser I, p. 73, prop. 12). c) Inversement, soit $\Omega$ une clôture algébrique de N, et supposons qu’il existe une sous-extension L de $\Omega$ telle que $L(x)$ soit une extension galoisienne de L, de degré p. Montrer alors que p divise n. (Observer que $N \cap L(x) = (N \cap L)(x)$ et que $(N \cap L)(x)$ est une extension galoisienne de degré p de $N \cap L$.)