Bài tập 12, § 11

Cho K là một trường có đặc số q, $\Omega$ là một mở rộng đóng đại số của K, x là một phần tử của $\Omega$ sao cho $x \notin K$ và M là một phần tử cực đại của tập hợp các mở rộng con của $\Omega$ không chứa x (V, p. 156, Ex. 9); giả sử thêm rằng M là hoàn hảo sao cho $M(x)$ là một mở rộng Galois có bậc nguyên tố p của M (loc. cit.). a) Chứng minh rằng hoặc là $p = 2$ và $\Omega = M(i)$ hoặc với mỗi số nguyên r $\geq 1$, tồn tại một mở rộng duy nhất có bậc $p^r$ của M; mở rộng này M, là cyclic trên M, $\Omega$ là hợp của các M, và các M, là các mở rộng duy nhất có bậc hữu hạn của M. (Chú ý rằng nếu một nhóm p $\Gamma$ có cấp $p^r$ chỉ có một nhóm con có cấp $p^{r-1}$, thì nó nhất thiết là cyclic, bằng cách lập luận quy nạp theo r và sử dụng I, p. 133, Ex. 10, và I, p. 77, Hệ quả của Mệnh đề 11). b) Giả sử rằng $\Omega \neq M(i)$ và rằng $p \neq q$. Chứng minh rằng M chứa các nghiệm p-th của đơn vị; do đó ta có $M(x) = M_1 = M(\alpha)$ với $\alpha^p \in M$. Chứng minh rằng nếu a là lũy thừa p của một phần tử của $M_1$, thì $M_1 = M(\zeta)$, trong đó $\zeta$ là nghiệm bậc $p^2$ của đơn vị (nếu $a = \beta^p$ với $\beta \in M_1$, xét đa thức tối tiểu của $\beta$ trong $M[X]$). c) Dưới các giả thiết của b), chứng minh rằng nếu a không là lũy thừa p của một phần tử của $M_1$ thì $M_r$ là trường phân rã của đa thức $X^{p^{r-1}} - a$ của $M_1[X]$ (sử dụng b)). d) Dưới các giả thiết của b), chứng minh rằng nếu a là lũy thừa p của một phần tử của $M_1$, tồn tại $y \in M_1$ sao cho $\gamma \notin M$ và rằng $M_2$ là trường phân rã của $X^p - \gamma$; chứng minh rằng y không là lũy thừa p của một phần tử của $M_2$ và suy ra rằng $M_r$ là trường phân rã của đa thức $X^{p^{r-1}} - \gamma$ của $M_1[X]$.