Exercice 12, § 11

Soient $K$ un corps de caractéristique $q$, $\Omega$ une extension algébriquement close de $K$, $x$ un élément de $\Omega$ tel que $x \notin K$, $M$ un élément maximal de l’ensemble des sous-extensions de $\Omega$ ne contenant pas $x$ (V, p. 148, exerc. 9); on suppose en outre que $M$ est parfait, de sorte que $M(x)$ est une extension galoisienne de $M$ de degré premier $p$ (loc. cit.). a) Montrer que, ou bien $p = 2$ et $\Omega = M(i)$, ou bien, pour chaque entier $r \geqslant 1$, il existe une seule extension de $M$ de degré $p^r$; cette extension $M_r$ est cyclique sur $M$, $\Omega$ est réunion des $M_r$ et les $M_r$ sont les seules extensions de degré fini de $M$. (Noter que si un $p$-groupe $\Gamma$ d’ordre $p^r$ n’a qu’un seul sous-groupe d’ordre $p^{r-1}$, il est nécessairement cyclique, en raisonnant par récurrence sur $r$ et utilisant I, p. 124, exerc. 10 et I, p. 73, cor. de la prop. 11). b) On suppose que $\Omega \neq M(i)$ et que $p \neq q$. Montrer que $M$ contient les racines $p$-ièmes de l’unité; on a donc $M(x) = M_1 = M(\alpha)$ avec $\alpha^p \in M$. Montrer que si $\alpha$ est puissance $p$-ième d’un élément de $M_1$, on a $M_1 = M(\zeta)$, où $\zeta$ est une racine primitive $p^2$-ième de l’unité (si $\alpha = \beta^p$ pour un $\beta \in M_1$, considérer le polynôme minimal de $\beta$ dans $M[X]$). c) Sous les hypothèses de b), montrer que si $\alpha$ n’est pas puissance $p$-ième d’un élément de $M_1$, alors $M_r$ est le corps de décomposition du polynôme $X^{p^{r-1}} - \alpha$ de $M_1[X]$ (utiliser b)). d) Sous les hypothèses de b), montrer que si $\alpha$ est puissance $p$-ième d’un élément de $M_1$, il existe $\gamma \in M_1$ tel que $\gamma \notin M$ et que $M_2$ soit corps de décomposition de $X^p - \gamma$; montrer que $\gamma$ n’est pas puissance $p$-ième d’un élément de $M_2$, et en déduire que $M_r$ est le corps de décomposition du polynôme $X^{p^{r-1}} - \gamma$ de $M_1[X]$.