Bài tập 19, § 6

Cho G là một nhóm giao hoán hữu hạn. (a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một phần tử $x \in G$ có cấp $n$ là một bội của các cấp của các phần tử của G. (Sử dụng phân tích của G thành một tích của các nhóm-p.) Bây giờ chứng minh rằng nhóm con H sinh bởi một phần tử như vậy là một nhân tử trực tiếp trong G (áp dụng bài tập trước để xây dựng một đồng cấu $G \to H$ mà hạn chế của nó trên H là đồng nhất). (b) Bây giờ chứng minh rằng G là một tích trực tiếp của các nhóm cyclic. (Lập luận bằng quy nạp theo Card(G) sử dụng a).) (Xem VII, §4, No. 6.)