Exercice 19, § 6

Soit G un groupe commutatif fini. a) Montrer qu’il existe un élément $x \in G$ dont l’ordre $n$ est un multiple des ordres des éléments de G. (Utiliser la décomposition de G en produit de $p$-groupes.) Montrer que le sous-groupe H engendré par un tel élément est facteur direct dans G (appliquer l’exercice précédent pour construire un homomorphisme $G \to H$ dont la restriction à H soit l’identité). b) Montrer que G est produit direct de groupes cycliques. (Raisonner par récurrence sur Card(G) en utilisant a).) (Cf. VII, §4, n° 6.)