Soit $x \in E$ tel que $u(x) = e$. On a $p(x) = p'(u(x)) = e$ d’où $x \in i(F)$. Soit $y \in F$ tel que $x = i(y)$; on a $i'(y) = u(i(y)) = e$. Comme $i'$ est injectif, $y = e$ et $x = e$. Par suite $u$ est injectif. En vertu de I, p. 38, cor. 1, $u$ est surjectif puisque $u(i(F)) = i'(F)$. La dernière assertion est immédiate.

En d’autres termes, les extensions $\mathscr{E}$ et $\mathscr{E}'$ sont isomorphes si et seulement s’il existe un morphisme de $\mathscr{E}$ dans $\mathscr{E}'$.

Soient F et G deux groupes ; posons $E_0 = F \times G$; soient $i : F \to E_0$ l’injection canonique et $p : E_0 \to G$ la surjection canonique. Toute extension de G par F isomorphe à l’extension $\mathscr{E}_0 : F \xrightarrow{i} E_0 \xrightarrow{p} G$ est appelée extension triviale.

Il est clair que (i) entraîne (ii) et (iii). Si (ii) est vérifiée, l’application $(r, p): E \to F \times G$ est un morphisme de $\mathscr{E}$ dans $\mathscr{E}_0$, d’où (i). Si (iii) est vérifiée, l’homomorphisme de $F \times G$ dans E correspondant à $(i, s)$ (I, p. 45, prop. 12) est un morphisme de $\mathscr{E}_0$ dans $\mathscr{E}$, d’où (i).

Il peut arriver qu’une extension $\mathscr{E}: F \to E \to G$ ne soit pas triviale, et que cependant le groupe $E$ soit isomorphe à $F \times G$ (I, p. 135, exerc. 6).

On a:

On a $^g (f' \cdot ^{g'} f'') = ^g f' \cdot ^{gg'} f''$, ce qui montre que la loi de composition définie par (1) est associative. L’élément $(e, e)$ est neutre pour cette loi. L’élément $(f, g)$ admet pour inverse $(g^{-1} f^{-1}, g^{-1})$. Donc la loi de composition de $F \times_{\tau} G$ est une loi de groupe. Les autres assertions sont immédiates.

Avec les notations de la prop. 3, on notera $\mathscr{E}_{\tau}$ l’extension $F \xrightarrow{i} F \times_{\tau} G \xrightarrow{p} G$.

Soient $\mathscr{E}' : F \xrightarrow{i'} E' \xrightarrow{p'} G$ une extension de $G$ par $F$ et $s' : G \to E'$ une section de $\mathscr{E}'$. Définissons une loi d’opération $\tau$ de $G$ sur le groupe $F$ par:

On a $(f, g) = (f, e) \cdot_{\tau} (e, g) = i(f) \cdot_{\tau} s(g)$. Par suite, si $u$ répond à la question, on a nécessairement $u(f, g) = i'(f) \cdot s'(g)$, d’où l’unicité de $u$. Démontrons l’existence. Posons $u(f, g) = i'(f) \cdot s'(g)$. On a

Par suite, $u$ est un homomorphisme de $F \times_{\tau} G$ dans $E'$. On a évidemment $u \circ i = i', p' \circ u = p$ et $u \circ s = s'$.

Sous les hypothèses de ce corollaire, on dit que G est produit semi-direct de K par H.

Exemples. — 1) Soient G un groupe et E un G-ensemble principal homogène. Notons $\Gamma$ le groupe des automorphismes de G. Soit A l’ensemble des permutations $f$ de E possédant la propriété suivante: Il existe $\gamma \in \Gamma$ tel que $f$ soit un $\gamma$-morphisme de E dans E (autrement dit, $f(gb) = \gamma(g)f(b)$ pour $b \in E$ et $g \in G$). La formule $f(gb) = \gamma(g)f(b)$ précédente montre que, si $f \in A$, il existe un seul $\gamma \in \Gamma$ tel que $f$ soit un $\gamma$-morphisme; nous le noterons $p(f)$. Soient $f, f'$ dans A, $\gamma = p(f), \gamma' = p(f')$. On a, pour tout $b \in E$ et tout $g \in G$,

ce qui prouve que $f' \circ f \in A$ et que $p(f' \circ f) = p(f')p(f)$. D’autre part, on a $f(\gamma^{-1}(g)f^{-1}(b)) = gb$, d’où $f^{-1}(gb) = \gamma^{-1}(g)f^{-1}(b)$ et $f^{-1} \in A$. Ainsi A est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_E$ et $p$ est un homomorphisme de A dans $\Gamma$. Le noyau de $p$ est l’ensemble $\mathrm{Aut}_G(E)$ des automorphismes du G-ensemble E. Fixons $a \in E$. Nous avons défini dans I, p. 59 un isomorphisme $\psi_a$ de $G^0$ sur $\mathrm{Aut}_G(E)$ tel que $\psi_a(x)(ga) = gxa$ quels que soient $g, x$ dans G. D’autre part, pour $\gamma \in \Gamma$, soit $s_a(\gamma)$ la permutation de E définie par $s_a(\gamma)(ga) = \gamma(g)a$ pour tout $g \in G$; on vérifie aussitôt que $s_a$ est un homomorphisme de $\Gamma$ dans A tel que $p \circ s_a = \mathrm{Id}_{\tau}$. Ainsi, est une extension de $\Gamma$ par $G^0$ et $s_a$ est une section de cette extension. Cette extension et cette section définissent une opération de $\Gamma$ sur $G^0$, $s_a(\Gamma)$ agissant sur $\psi_a(G^0)$ par automorphismes intérieurs; nous noterons exponentiellement cette opération. Montrons que cette opération est l’opération naturelle (I, p. 24, Exemple 3): en effet, pour $x, g$ dans G et $\gamma \in \Gamma$, on a d’où, $\gamma x = \gamma(x)$. La prop. 4 montre alors que A est isomorphe au produit semi-direct de $\Gamma = \mathrm{Aut}(G)$ par $G^0$ pour l’opération naturelle de $\mathrm{Aut}(G)$ sur $G^0$. On notera que l’isomorphisme que nous avons construit dépend en général du choix de l’élément $a \in E$. 2) \*Soit A un anneau commutatif. Le groupe trigonal supérieur $T(n, A)$ est produit semi-direct du sous-groupe diagonal $D(n, A)$ par le sous-groupe trigonal strict supérieur $T_1(n, A)$.\*

(i) Le sous-groupe A normalise le sous-groupe (A, B).

(ii) Si le sous-groupe (B, C) normalise A, le sous-groupe (A, (B, C)) est engendré par les éléments $(a, (b, c))$ pour $a \in A, b \in B$ et $c \in C$.

(iii) Si A, B et C sont distingués, on a

D’après (4 bis), on a, pour $a, a'$ dans A et $b \in B$,

d’où (i). Supposons maintenant que (B, C) normalise A. Pour $a \in A,\ b \in B,\ c \in C$ et $x \in G$, on a d’après (4)

et $((b, c), a) \in A$ puisque (B, C) normalise A, d’où par récurrence sur $p$ le fait que $(a, \prod_{i=1}^p (b_i, c_i))$, pour $b_i \in B,\ c_i \in C$, appartient au sous-groupe engendré par les éléments de la forme $(a, (b, c))$. Si enfin A, B et C sont distingués, il en est de même des sous-groupes (A, (B, C)), (C, (B, A)) et (B, (C, A)). Il suffit donc d’après (ii) de montrer que

quels que soient $a \in A,\ b \in B$ et $c \in C$. Or on a d’après (5), en posant $a^{b^{-1}} = u$,

d’où (iii).

Si f est surjectif, l’homomorphisme de D(G) dans D(G') restriction de f est surjectif.

L’image par f d’un commutateur d’éléments de G est un commutateur d’éléments de G'. Si f est surjectif, l’image par f de l’ensemble des commutateurs de G est l’ensemble des commutateurs de G'. La proposition résulte donc de I, p. 32, cor. 3.

On a $\pi(D(G)) = \{e\}$. Comme $\pi$ est surjectif, on en déduit $D(G/D(G)) = \{e\}$, d’où la première assertion. La seconde résulte de I, p. 35, prop. 5.

On a (ii) ⇒ (i) par le cor. 2 et (i) ⇒ (ii) par I, p. 39, th. 4, tout sous-groupe d’un groupe commutatif étant distingué.

Soient H le sous-groupe distingué de G engendré par les commutateurs d’éléments de X et φ : G → G/H l’homomorphisme canonique. L’ensemble φ(X) engendre G/H. Les éléments de φ(X) sont deux à deux permutables, donc H est commutatif (I, p. 32, cor. 2). Donc (cor. 3) H contient D(G). Par ailleurs on a évidemment H ⊂ D(G).

telle que $(G, G^{k'}) \subset G^{k+1}$ pour tout $k \in \{1, n\}$. c) Il existe un sous-groupe $A$ de $G$ contenu dans le centre de $G$, tel que $G/A$ soit nilpotent de classe $\leq n - 1$. a) $\Rightarrow$ b) : il suffit de prendre $G^k = C^k(G)$. b) $\Rightarrow$ a) : on a, par récurrence sur $k$, $C^k(G) \subset G^k$. a) $\Rightarrow$ c) : il suffit de prendre $A = C^n(G)$. c) $\Rightarrow$ a) : soit $\pi : G \to G/A$ l’homomorphisme canonique ; on a $\pi(C^n(G)) = C^n(G/A) = \{e\}$, donc $C^n(G) \subset A$, d’où $C^{n+1}(G) = \{e\}$.

En termes plus brefs : un groupe est nilpotent de classe $\leq n$ s’il s’obtient par $n$ extensions centrales successives à partir du groupe $\{e\}$.

On choisit une suite $(G^k)$ de sous-groupes de G vérifiant les conditions de la prop. 7 b) (I, p. 69); pour tout $k$, $G^k$ est distingué dans G. On pose:

Il faut voir que $H^{k+1}$ est normalisé par $H^k = H.G^k$; comme il l’est par H, il suffit de voir qu’il l’est par $G^k$. Or, si $s \in G^k$ et $h \in H$, on a et $(G, G^k).H$ est contenu dans $G^{k+1}.H = H^{k+1}$; d’où $s.H^{k+1}.s^{-1} = H^{k+1}$, ce qui montre bien que $H^{k+1}$ est distingué dans $H^k$.

Enfin, l’homomorphisme canonique $G^k/G^{k+1} \to H^k/H^{k+1}$ est évidemment surjectif; comme le premier groupe est commutatif, le second l’est aussi.

Soit k le plus grand indice tel que $H^k \neq H$. Le groupe $H^k$ normalise H, et est distinct de H.

Soit k le plus petit indice tel que $H^k \neq G$. Le groupe $H^k$ répond à la question.

En effet, tout sous-groupe N de G qui contient H et tel que G/N soit commutatif contient H.(G, G). Le cor. 3 résulte donc du cor. 2.

Le cor. 3 peut encore se formuler ainsi: soit X une partie de G. Pour que X engendre G, il faut et il suffit que l’image de X dans G/D(G) engendre G/D(G).

Si $(G^{lc})$ vérifie la condition b) de la prop. 7 (I, p. 69), on prend

Soit $k$ le plus grand indice tel que $N^{lc} \neq \{e\}$. Le groupe $N^{lc}$ est contenu dans $N$. D’autre part, $(G, N^{lc}) \subset N^{lc+1} = \{e\}$; donc $N^{lc}$ est contenu dans le centre $Z$ de $G$.

C’est le cor. 1 appliqué à $\mathrm{Ker}(f)$.