(i) Rappelons l’identité

Pour $x \in G_\alpha$ et $y \in G_\beta$, la classe modulo $G_{\alpha + \beta}^+$ de l’élément $(x, y)$ de $G_{\alpha + \beta}$ sera notée $f(x, y)$. Pour $a$ dans $G_{\alpha + \beta}$ et $x'$ dans $G$, on a $a^{-1} . a^{x'} = (a, x') \in G_{\alpha + \beta}^+$; en particulier $f(x, y)$ est égale à la classe modulo $G_{\alpha + \beta}^+$ de $(x, y)^{x'}$. La formule (15) entraîne donc

Nous avons à prouver que l’application $f : G_\alpha \times G_\beta \to \mathrm{gr}_{\alpha + \beta}(G)$ définit par passage au quotient une application $\varphi_{\alpha \beta} : \mathrm{gr}_\alpha(G) \times \mathrm{gr}_\beta(G) \to \mathrm{gr}_{\alpha + \beta}(G)$. D’après (16) et (18), il suffit de prouver que l’on a $f(x, y) = 0$ si $x \in G_\alpha^+$ ou si $y \in G_\beta^+$, ce qui résulte de (13').

(ii) Comme on a $(x, x) = e$, il résulte de (17) que $\varphi$ est une application

Z-bilinéaire alternée. Il reste donc à prouver que pour $u \in \mathrm{gr}_\alpha(G)$, $v \in \mathrm{gr}_\beta(G)$ et $w \in \mathrm{gr}_\gamma(G)$, on a

Soient $x \in G_\alpha$, $y \in G_\beta$ et $z \in G_\gamma$ des éléments représentant respectivement $u$, $v$ et $w$. On sait que $x^y$ et $x$ sont deux éléments de $G_\alpha$ congrus modulo $G_\alpha^+$, donc $x^y$ est un représentant de $u$ dans $G_\alpha$; comme $(y, z)$ est un représentant de $\varphi(v, w)$ dans $G_{\beta+\gamma}$, on voit que $(x^y, (y, z))$ est un représentant de $\varphi(u, \varphi(v, w))$ dans $G_{\alpha+\beta+\gamma}$. Par permutation circulaire, on voit que $(y^z, (z, x))$ et $(z^x, (x, y))$ représentent respectivement $\varphi(v, \varphi(w, u))$ et $\varphi(w, \varphi(u, v))$ dans $G_{\alpha+\beta+\gamma}$. La relation (19) est alors conséquence de l’identité suivante (A, I, p. 66, formule (15)):

C.Q.F.D.

L’algèbre de Lie $\mathrm{gr}(G)$ sur $\mathbf{Z}$ définie dans la proposition 1 s’appelle l’algèbre de Lie graduée associée au groupe filtré $G$.

On a $\Gamma = \bigcup_{\alpha > 0} \Gamma_\alpha$ par construction, et la relation $\Gamma_\alpha = \bigcap_{\beta < \alpha} \Gamma_\beta$ résulte de $A_\alpha = \bigcap_{\beta < \alpha} A_\beta$.

Montrons que $\Gamma_\alpha$ est un sous-groupe de $A^*$. On a $1 \in \Gamma_\alpha$; soient $x, y$ dans $\Gamma_\alpha$, d’où $x - 1 \in A_\alpha, y - 1 \in A_\alpha$. Comme $A_\alpha$ est un idéal bilatère de $A$, les formules

entraînent $xy - 1 \in A_\alpha$ et $x^{-1} - 1 \in A_\alpha$, d’où $xy \in \Gamma_\alpha$ et $x^{-1} \in \Gamma_\alpha$.

Comme $\Gamma = \bigcup_{\alpha > 0} \Gamma_\alpha$, c’est un sous-groupe de $A^*$.

Soient enfin $\alpha > 0, \beta > 0, x \in \Gamma_\alpha$ et $y \in \Gamma_\beta$. Posons $x - 1 = \xi$ et $y - 1 = \eta$.

On a

par hypothèse, on a $\xi \in A_\alpha$ et $\eta \in A_\beta$, d’où $\xi \eta - \eta \xi \in A_{\alpha + \beta}$. Comme $A_{\alpha + \beta}$ est un idéal bilatère de $A$, on a $(x, y) - 1 \in A_{\alpha + \beta}$ d’où $(x, y) \in \Gamma_{\alpha + \beta}$.

C.Q.F.D.

(ii) Soit $g$ l’homomorphisme de groupes de $\mathrm{gr}(G)$ dans $\mathrm{gr}(A)$ dont la restriction à $\mathrm{gr}_\alpha(G)$ est $g_\alpha$ pour tout $\alpha$. L’application $g$ est un homomorphisme injectif de $\mathbf{Z}$-algèbres de Lie.

(i) Soit $\alpha > 0$. Par hypothèse, pour tout $a$ dans $G_\alpha$, on a $\rho(a) - 1 \in A_\alpha$; on note $p_\alpha(a)$ la classe de $\rho(a) - 1$ modulo $A_\alpha^+$. Comme on a $A_{2\alpha} \subset A_\alpha^+$, la relation (25) entraîne $p_\alpha(ab) = p_\alpha(a) + p_\alpha(b)$. On a $a \in G_\alpha^+$ si et seulement si $\rho(a) - 1 \in A_\alpha^+$; par suite, $G_\alpha^+$ est le noyau de l’homomorphisme $p_\alpha$ de $G_\alpha$ dans $\mathrm{gr}_\alpha(A)$. Par passage au quotient, $p_\alpha$ définit donc un homomorphisme injectif $g_\alpha$ de $\mathrm{gr}_\alpha(G)$ dans $\mathrm{gr}_\alpha(A)$.

Pour $\alpha \leqslant 0$, on a $\mathrm{gr}_\alpha(G) = \{0\}$, et l’on n’a pas d’autre choix que $g_\alpha = 0$.

(ii) Comme $g_\alpha$ est injectif pour tout $\alpha$ réel, $g$ est injectif. Montrons que $g$ est un homomorphisme d’algèbres de Lie. Comme on a $\mathrm{gr}_\alpha(G) = \{0\}$ pour $\alpha \leqslant 0$, il suffit d’établir la formule

pour $\alpha > 0, \beta > 0, a \in G_\alpha$ et $b \in G_\beta$, ce qui résulte de (26).

(ii) Si $(G_n)_{n \in \mathbf{N}^*}$ est une filtration centrale entière sur $G$, on a $C^nG \subset G_n$ pour tout $n \in \mathbf{N}^*$.

L’assertion (i) a été prouvée en A, I, p. 68, formule (7).

On démontre (ii) par récurrence sur $n$; on a $C^1G = G = G_1$; pour $n > 1$, on a $C^nG = (G, C^{n-1}G) \subset (G, G_{n-1}) \subset G_n$.

Soit $L$ la sous-algèbre de Lie de $\mathrm{gr}(G)$ engendrée par $\mathrm{gr}_1(G)$; montrons que $L \supset \mathrm{gr}_n(G)$ par récurrence sur $n$, l’assertion étant triviale pour $n = 1$. Supposons $n > 1$ et $L \supset \mathrm{gr}_{n-1}(G)$. Comme $C^nG = (G, C^{n-1}G)$, la construction de la loi d’algèbre de Lie sur $\mathrm{gr}(G)$ montre aussitôt que $\mathrm{gr}_n(G) = [\mathrm{gr}_1(G), \mathrm{gr}_{n-1}(G)] \subset L$.

La démonstration précédente montre que la suite centrale descendante de l’algèbre de Lie $\mathrm{gr}(G)$ (§ 2, n° 7) est donnée par