Soit $f'$ l’unique homomorphisme d’algèbre unifère de $\mathbf{A}(X)$ dans $B$ prolongeant $f$ (A, III, p. 22, prop. 7). Montrons que $f'$ est continu: en effet, on a $f'(\mathbf{A}^n(X)) \subset B_{n\lambda}$ d’où $f'(\hat{\mathbf{A}}_n(X) \cap \mathbf{A}(X)) \subset B_{n\lambda}$. Par suite, $f'$ se prolonge d’une manière et d’une seule par continuité en un homomorphisme $\hat{f}: \hat{\mathbf{A}}(X) \to B$.

Conservons les hypothèses et notations de la prop. 1 et soit $u \in \hat{\mathbf{A}}(X)$. L’élément $\hat{f}(u)$ se note $u((f(x))_{x \in X})$ et s’appelle le résultat de la substitution des $f(x)$ aux $x$ dans $u$. En particulier, on a $u((x)_{x \in X}) = u$. Soit maintenant $u = (u_y)_{y \in Y}$ une famille d’éléments de $\hat{\mathbf{A}}_1(X)$ et soit $v \in \hat{\mathbf{A}}(Y)$. Ce qui précède permet de définir l’élément $v((u_y)_{y \in Y}) \in \hat{\mathbf{A}}(X)$. On le note $v \circ u$. Comme $u_y((f(x))) \in B_\lambda$, on peut substituer les éléments $u_y((f(x)))$ aux $y$ dans $v$. Les applications $v \mapsto (v \circ u)((f(x)))$ et $v \mapsto v((u_y((f(x))))))$ sont alors deux homomorphismes continus d’algèbres unifères de $\hat{\mathbf{A}}(Y)$ dans $B$, et prennent la même valeur $u_y((f(x)))$ sur l’élément $y \in Y$. Par suite (prop. 1), on a

pour tout $v \in \hat{\mathbf{A}}(Y)$.

Si $a$ est inversible dans $\hat{\mathbf{A}}(X)$, $\varepsilon(a)$ est inversible dans $K$. Inversement, si $\varepsilon(a)$ est inversible dans $K$, il existe $u \in \hat{\mathbf{A}}_1(X)$ tel que $a = \varepsilon(a)(1 - u)$; posons $b = \left( \sum_{n \geq 0} u^n \right) \varepsilon(a)^{-1}$. On a $ab = ba = 1$, et $a$ est inversible.

L’ensemble des éléments de $\hat{\mathbf{A}}(X)$ de terme constant 1 est donc un sous-groupe du monoïde multiplicatif $\hat{\mathbf{A}}(X)$, qu’on appelle le groupe de Magnus construit sur $X$ (relativement à $K$). Dans ce chapitre, on le notera $\Gamma(X)$, ou simplement $\Gamma$. Pour tout entier $n \geq 1$, on note $\Gamma_n$ l’ensemble des $a \in \Gamma$ tels que $\omega(a - 1) \geq n$. D’après la prop. 2 du § 4, n° 5, la suite $(\Gamma_n)_{n \geq 1}$ est une filtration centrale entière sur $\Gamma$.

Démontrons d’abord trois lemmes.

Si $n > 0$, on a $c_{n,n} = 1$ d’après la formule du binôme.

Supposons $n < 0$ et posons $m = -n$. Si l’on avait $c_{j,n} = 0$ pour tout $j \geq 1$, on aurait $(1 + t)^n = 1$, d’où en prenant l’inverse, $(1 + t)^m = 1$, ce qui est contraire à la formule $c_{m,m} = 1$.

Soient $m$ un idéal maximal de $K$ et $k$ le corps $K/m$; soit $p : \hat{\mathbf{A}}_K(X) \to \hat{\mathbf{A}}_k(X)$ l’unique homomorphisme continu de $K$-algèbres unifères tel que $p(x) = x$ pour $x \in X$ (no 1, prop. 1). Il suffit de prouver que $p(\Pi(1 + x_i)^{n_i}) \neq 1$, et on est ramené au cas où $K$ est un corps.

Avec les notations du lemme 2, on a:

D’après le lemme 2, il existe des entiers $a_i > 0$ tels que $c_{a_i,n_i} \neq 0$ ($1 \leq i \leq s$). D’après A, I, p. 84, prop. 6, aucun monôme $x_1^{b_1} \cdots x_s^{b_s}$ tel que $b_i \geq 0$ et $(b_1, \ldots, b_s) \neq (a_1, \ldots, a_s)$ ne peut être égal à $x_1^{a_1} \cdots x_s^{a_s}$. Il s’ensuit que le coefficient de $x_1^{a_1} \cdots x_s^{a_s}$ dans $\prod_{i=1}^s (1 + x_i)^{n_i}$ est $c_{a_1,n_1} \cdots c_{a_s,n_s} \neq 0$, ce qui entraîne le résultat.

On a $\sigma(x) \equiv x \mod \hat{\mathbf{A}}_2(X)$ pour $x \in X$, d’où, pour $n \geq 1$ et $x_1, \ldots, x_n$ dans $X$,

il en résulte par linéarité que $\sigma(a) \equiv a$ modulo $\hat{\mathbf{A}}_{n+1}(X)$ pour tout $a \in \mathbf{A}^n(X)$, et en particulier $\sigma(\mathbf{A}^n(X)) \subset \hat{\mathbf{A}}_n(X)$. On en déduit $\sigma(\mathbf{A}^m(X)) \subset \hat{\mathbf{A}}_n(X)$ pour $m \geq n$, d’où $\sigma(\hat{\mathbf{A}}_n(X)) \subset \hat{\mathbf{A}}_n(X)$. Autrement dit, $\sigma$ est compatible avec la filtration $(\hat{\mathbf{A}}_m(X))$ de $\mathbf{A}(X)$ et sa restriction au gradué associé est l’identité. Donc $\sigma$ est bijectif (AC, III, § 2, no 8, cor. 3 du th. 1).

Démontrons enfin le théorème 1. Soit $w \neq 1$ un élément de $F(X)$. D’après A, I, p. 84, prop. 7, il existe $x_1, \ldots, x_s$ dans $X$ et des entiers rationnels non nuls $n_1, \ldots, n_s$, tels que $s \geq 1$, $x_i \neq x_{i+1}$ ($1 \leq i \leq s-1$), et

Avec les notations du lemme 4, on a

donc $g(w) \neq 1$ d’après les lemmes 3 et 4.

En termes imagés, la $\mathbf{Z}$-algèbre de Lie graduée associée au groupe libre $F(X)$ (muni de la suite centrale descendante) est la $\mathbf{Z}$-algèbre de Lie libre $L_Z(X)$.

Posons $F(X) = F, \ \Gamma(X) = \Gamma, \ \hat{A}(X) = \hat{A}, \ \hat{A}_Z(X) = \hat{A}_Z, \ C^n F(X) = C^n, \ \Gamma_n = 1 + \hat{A}_n(X)$, et soit $\alpha : L_Z(X) \to g$ l’homomorphisme introduit dans l’énoncé du th. 3.

A) Réductions préliminaires.

Notons $\gamma$ l’homomorphisme de $F$ dans $\Gamma$ défini par $\gamma(x) = 1 + x$ pour $x \in X$. D’après le lemme 4, il existe un automorphisme $\sigma$ de l’algèbre $\hat{A}$ respectant la filtration de $\hat{A}$ et tel que $\sigma(1 + x) = g(x)$ pour tout $x \in X$; on a $\sigma(\Gamma_n) = \Gamma_n$ pour tout $n$. Comme les homomorphismes $g$ et $\sigma \circ \gamma$ de $F$ dans $\Gamma$ coïncident dans $X$, on a $g = \sigma \circ \gamma$, donc $g^{-1}(\Gamma_n) = \gamma^{-1}(\Gamma_n)$. Sous les hypothèses du th. 2, on peut identifier $\mathbf{Z}$ à un sous-anneau de $K$; l’algèbre de Magnus $\hat{A}_Z$ s’identifie donc à un sous-anneau de $\hat{A}$, la filtration de $\hat{A}_Z$ étant induite par celle de $\hat{A}$. Comme $\gamma$ applique $F$ dans $\hat{A}_Z$, on voit qu’il suffit de prouver les th. 2 et 3 sous les hypothèses supplémentaires $K = \mathbf{Z}$ et $r = 0$, donc $g = \gamma$, hypothèses que nous ferons désormais.

B) Surjectivité de $\alpha$.

Comme $X$ engendre le groupe $F = C^1$, l’ensemble $c(X)$ engendre le $\mathbf{Z}$-module $g^1 = C^1/C^2$. Or $g^1$ engendre la $\mathbf{Z}$-algèbre de Lie $g$ (§ 4, n° 6, prop. 5), donc $c(X)$ engendre $g$, ce qui prouve que $\alpha$ est surjectif.

C) Identifions l’algèbre graduée $\mathrm{gr}(\hat{A})$ à $A(X)$ par les isomorphismes canoniques $A^n(X) \to \hat{A}_n/\hat{A}_{n+1}$. Pour tout entier $n \geq 1$, posons $F^n = \gamma^{-1}(\Gamma_n)$; on sait (§ 4, n° 5) que $(F^n)_{n \geq 1}$ est une filtration centrale entière sur $F$. Notons $g'$ la $\mathbf{Z}$-algèbre de Lie graduée associée (§ 4, n° 4). Soit $f$ l’homomorphisme d’algèbres de Lie de $g'$ dans $A(X)$ associé à $\gamma$ (§ 4, n° 5, prop. 3). Or, on a $C^n \subset F^n$ pour tout entier $n \geq 1$ (§ 4, n° 6, prop. 4), d’où un homomorphisme canonique $\varepsilon$ de $g = \bigoplus_{n \geq 1} C^n/C^{n+1}$ dans $g' = \bigoplus_{n \geq 1} F^n/F^{n+1}$

On pose $\beta = f \circ \varepsilon$; on peut expliciter $\beta$ ainsi : si $u$ est la classe modulo $C^{n+1}$ d’un élément $w$ de $C^n$, alors $\gamma(w) - 1$ est d’ordre $\geq n$ dans $\hat{A}$ et $\beta(u)$ est la composante homogène de degré $n$ de $\gamma(w) - 1$. En particulier, on a

(3)

D) Démonstration des théorèmes 2 et 3.

L’homomorphisme d’algèbres de Lie $\beta \circ \alpha : L_\mathbf{Z}(X) \to A(X)$ a pour restriction à $X$ l’identité d’après (3), donc est l’*injection canonique* (§ 3, n° 1). Par suite, $\alpha$ est injectif, donc bijectif d’après B); ceci démontre le th. 3. Comme $\beta \circ \alpha = f \circ \varepsilon \circ \alpha$ est injectif et que $\alpha$ est bijectif, $\varepsilon$ est injectif. Pour tout $n \geq 1$,

est injectif, donc

On a $C^1 = F = F^1$; si $C^n = F^n$, on a $C^n \cap F^{n+1} = F^{n+1}$ d’où $C^{n+1} = F^{n+1}$, ce qui démontre le th. 2 par récurrence sur $n \geq 1$.

En effet, appliquant le th. 2 pour $K = \mathbf{Z}$ et $r = 0$, on a

Raisonnant par récurrence sur $n$, il suffit de prouver que $F_n^{(p)}(X)/F_{n+1}^{(p)}(X)$ est un $p$-groupe commutatif fini pour tout $n \geq 1$. Pour tout $w \in F_n^{(p)}(X)$, l’élément $\gamma(w) - 1$ de $\hat{A}(X)$ est d’ordre $\geq n$; on note $\delta_n(w)$ la composante homogène de degré $n$ de $\gamma(w) - 1$. L’application $\delta_n : F_n^{(p)}(X) \to A^n(X)$ est un homomorphisme de noyau $F_{n+1}^{(p)}(X)$ ($§ 4$, $n^\circ 5$, prop. 3), donc $F_n^{(p)}(X)/F_{n+1}^{(p)}(X)$ est isomorphe à un sous-groupe de $A^n(X)$. Puisque $X$ est fini, $A^n(X)$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbf{F}_p$, donc un $p$-groupe commutatif fini et il en est de même de $F_n^{(p)}(X)/F_{n+1}^{(p)}(X)$.

Il existe des éléments $x_1, \ldots, x_r$ de $X$ et des entiers $n_1, \ldots, n_r$ tels que $w = x_1^{n_1} \ldots x_r^{n_r}$. Soit $Y = \{x_1, \ldots, x_r\}$. L’injection canonique de $Y$ dans $X$ se prolonge en un homomorphisme $\alpha : F(Y) \to F(X)$; par ailleurs, soit $\beta$ l’homomorphisme de $F(X)$ dans $F(Y)$ dont la restriction à $Y$ est l’identité et qui applique $X - Y$ dans $\{1\}$. On a $\beta(\alpha(y)) = y$ pour $y \in Y$, donc $\beta \circ \alpha$ est l’automorphisme identique de $F(Y)$. Il existe évidemment $w'$ dans $F(Y)$ tel que $w = \alpha(w')$; alors $\beta(w) = w' \neq 1$; or on a $\bigcap_{n \geq 1} F_n^{(p)}(Y) = \{1\}$ et il existe donc un entier $n \geq 1$ tel que $\beta(w) \notin F_n^{(p)}(Y)$. D’après la prop. 2, le groupe $G = F(Y)/F_n^{(p)}(Y)$ est un $p$-groupe fini. Si $f$ est le composé de $\beta$ et de l’homomorphisme canonique de $F(Y)$ sur $G$, on a $f(w) \neq 1$.