a) Existence de F : soit h l’homomorphisme de Lib(X) dans g prolongeant f (n° 1). Pour tout a dans Lib(X), on a $h(Q(a)) = h(a.a) = [h(a), h(a)] = 0$; de même, l’identité de Jacobi satisfaite par g entraîne $h(J(a, b, c)) = 0$ pour $a, b, c$ dans Lib(X). On en déduit $h(a) = 0$, d’où un homomorphisme F de L(X) dans g tel que $h = F \circ \psi$. Par restriction à X, on obtient $f = F \circ \varphi$.

b) Unicité de F : soit $F' : L(X) \to g$ un homomorphisme tel que $f = F' \circ \varphi$. Les homomorphismes $F \circ \psi$ et $F' \circ \psi$ de Lib(X) dans g coïncident dans X, donc sont égaux; comme $\psi$ est surjective, on a $F = F'$.

Soient $x_1, x_2, \ldots, x_n$ des éléments distincts de X et $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ dans K tels que

Soit g l’algèbre de Lie commutative ayant K comme module sous-jacent. Pour $i = 1, 2, \ldots, n$, il existe un homomorphisme $F_i$ de L(X) dans g tel que $F_i(\varphi(x_i)) = 1$ et $F_i(\varphi(x)) = 0$ pour $x \neq x_i$ (prop. 1); appliquant $F_i$ à la relation (3), on trouve $\lambda_i = 0$.

Soit $a \xrightarrow{\lambda} g \xrightarrow{\mu} L(X)$ une telle extension (chap. I, § 1, n° 7). Comme $\mu$ est surjective, il existe une application f de X dans g telle que $\varphi = \mu \circ f$. Soit F l’homomorphisme de L(X) dans g tel que $f = F \circ \varphi$ (prop. 1). On a $(\mu \circ F) \circ \varphi =$ μ ∘ f = φ, et la prop. 1 montre que μ ∘ F est l’automorphisme identique de L(X). L’extension donnée est donc inessentielle (chap. I, , no 7, prop. 6 et déf. 6)

Comme l’anneau K n’est pas réduit à 0, le cor. 1 de la prop. 1 montre que φ est injective. On peut donc identifier au moyen de φ l’ensemble X à son image dans L(X); avec cette convention, X engendre L(X) et toute application de X dans une algèbre de Lie g se prolonge en un homomorphisme d’algèbres de Lie de L(X) dans g.

L’existence et l’unicité de $L(u)$ résultent de la prop. 1 du n° 2. Les homomorphismes $L(v \circ u)$ et $L(v) \circ L(u)$ ont même restriction à $X$, donc sont égaux (prop. 1).

L’assertion étant triviale pour $X = \emptyset$, supposons $X \neq \emptyset$. Si $u$ est injective, il existe une application $v$ de $Y$ dans $X$ telle que $v \circ u$ soit l’application identique de $X$; d’après la prop. 2, $L(v) \circ L(u)$ est l’automorphisme identique de $L(X)$, donc

¹ Rappelons (A, IV, § 5, n° 10, n°11e édition) la définition des applications polynomiales d’un module libre $M$ dans un module $N$: si $q$ est un entier $\geqslant 0$, on dit qu’une application $f : M \to N$ est polynomiale homogène de degré $q$ s’il existe une application multilinéaire $u$ de $M^q$ dans $N$ telle que

Une application de $M$ dans $N$ est dite polynomiale si elle est somme finie d’applications polynomiales homogènes de degrés convenables.

L(u) est injective. Lorsque u est surjective, il existe une application w de Y dans X telle que u ∘ w soit l’application identique de Y; alors L(u) ∘ L(w) est l’application identique de L(Y), ce qui prouve que L(u) est surjective.

Soit X un ensemble et soit S une partie de X. Le corollaire précédent montre que l’injection canonique de S dans X se prolonge en un isomorphisme α de L(S) sur la sous-algèbre de Lie L'(S) de L(X) engendrée par S; nous identifierons L(S) et L'(S) au moyen de α.

Soit (S_α)_{α ∈ I} une famille filtrante croissante de parties de X, de réunion S. La relation S_α ⊂ S_β entraîne L(S_α) ⊂ L(S_β), donc la famille des sous-algèbres de Lie L(S_α) de L(X) est filtrante croissante. Par suite, g = ⋃_{α ∈ I} L(S_α) est une sous-algèbre de Lie de L(X); on a S ⊂ g, d’où L(S) ⊂ g, et comme L(S_α) ⊂ L(S) pour tout α ∈ I, on a g ⊂ L(S). Donc

pour toute famille filtrante croissante (S_α)_{α ∈ I} de parties de X.

Appliquant ce qui précède à la famille des parties finies de X, on voit que tout élément de L(X) est de la forme P(x_1, ..., x_n) où P est un polynôme de Lie à n indéterminées et x_1, ..., x_n sont des éléments de X.

Appliquant la prop. 1 à g = L_{K'}(X) considérée comme K'-algèbre de Lie, et à l’application x ↦ x de X dans g, on obtient un K-homomorphisme L_K(X) → L_{K'}(X), d’où un K'-homomorphisme v : L_K(X) ⊗ K' → L_{K'}(X). Le fait que v soit unique et soit un isomorphisme résulte du ce que le couple (L_K(X) ⊗ K', x ↦ x ⊗ 1) est solution du même problème universel que le couple (L_{K'}(X), x ↦ x).

Soit $\alpha \in N^{(S)}$. Le module $L^\alpha(S)$ est engendré par les images dans $L(X)$ des éléments $w$ de $M(S)$ tels que $\varphi(w) = \alpha$, c’est-à-dire (A, I, p. 91, formules (23) et (24)) l’ensemble des $w$ de $M(X)$ tels que $\varphi(w) = \alpha$. On a donc $L^\alpha(S) = L^\alpha(X)$.

La proposition résulte de là et de la relation $L(S) = \sum_{\alpha \in N^{(S)}} L^\alpha(S)$.

(16)

Cela résulte de la prop. 4 et de la formule évidente

(17)

où l’on a posé $S = \bigcap_{i \in I} S_i$.

(18)

(19)

Démontrons (18) par récurrence sur $m$. Le cas $m = 1$ est clair. D’après l’identité de Jacobi, on a

c’est-à-dire L’hypothèse de récurrence entraîne $[P_m, P_{n+1}] \subset P_{m+n+1}$ et $[P_m, P_n] \subset P_{m+n}$, d’où

D’après la formule (18), on a $P_n \supset \sum_{p=1}^{n-1} [P_p, P_{n-p}] \supset [P_1, P_{n-1}] = P_n$, d’où (19).

Lorsque l’on prend $P = g$, la suite $(P_n)$ est la suite centrale descendante $(\mathscr{C}^n g)$ de $g$ (chap. I, § 1, n° 5, 2ème édition).¹ On a donc:

Généralisant la déf. 1 du chap. I, § 4, n° 1, nous dirons qu’une algèbre de Lie $g$ est nilpotente si $\mathscr{C}^n g = \{0\}$ pour $n$ assez grand. On appelle classe de nilpotence d’une algèbre de Lie nilpotente $g$ le plus petit entier $n$ tel que $\mathscr{C}^{n+1} g = \{0\}$.

a) Nous appliquerons la prop. 5 avec $g = L(X)$ et $P = L^1(X)$. Par récurrence sur $n$, on déduit de (12) (n° 6) et (19) l’égalité $P_n = L^n(X)$. La relation cherchée équivaut alors à la définition $[P, P_n] = P_{n+1}$. b) Cela résulte de a) par récurrence sur $n$. c) Posons $g = L(X)$ et $g_n = \sum_{p \geq n} L_p(X)$. On a $g = g_1$ et la formule (13) du n° 6 entraîne $[g_n, g_m] \subset g_{n+m}$, et en particulier $[g, g_n] \subset g_{n+1}$. Par récurrence sur $n$, on a $\mathscr{C}^n g \subset g_n$. Par ailleurs, de a) on déduit $L^n(X) \subset \mathscr{C}^n g$ par récurrence sur $n$. Comme $\mathscr{C}^n g$ est un idéal de $g$, la relation $L^p(X) \subset \mathscr{C}^n g$ entraîne

d’après a). On a donc $L^p(X) \subset \mathscr{C}^n g$ pour $p \geq n$, d’où $g_n \subset \mathscr{C}^n g$.

¹ Avec la définition adoptée dans la première édition du chap. I, on aurait $P_n = \mathscr{C}^{n-1} g$.

(20) $D([a, a']) = a.D(a') - a'.D(a)$ pour $a, a'$ dans $L(X)$.

On définit une algèbre de Lie g ayant pour module sous-jacent $M \times L(X)$ au moyen du crochet

(21)

pour $a, a'$ dans $L(X)$ et $m, m'$ dans $M$ (chap. I, § 1, n° 8). Soit $f$ l’homomorphisme de $L(X)$ dans $g$ tel que $f(x) = (d(x), x)$ pour tout $x$ dans $X$; posons $f(a) = (D(a), u(a))$ pour tout $a$ dans $L(X)$. D’après la formule (21), $u$ est un homomorphisme de $L(X)$ dans elle-même; comme on a $u(x) = x$ pour $x$ dans $X$, on a $u(a) = a$ pour tout $a$ dans $L(X)$, d’où

(22) $f(a) = (D(a), a)$.

D’après (21) et (22), la relation (20) découle alors de $f([a, a']) = [f(a), f(a')]$.

Réciproquement, soit $D'$ une application de $L(X)$ dans $M$ qui satisfasse à la relation (20’) analogue à (20) et prolonge $d$. Posons $f'(a) = (D'(a), a)$ pour $a \in L(X)$; d’après (20’) et (21), $f'$ est un homomorphisme de $L(X)$ dans $g$, coïncidant avec $f$ dans $X$, d’où $f' = f$ et $D' = D$.

Lorsque $M$ est égal à $L(X)$ muni de la représentation adjointe, la relation (20) signifie que $D$ est une dérivation.

a) Pour $i = 1, 2$, la restriction $\varphi_i$ de $\psi$ à $S_i$ se prolonge en un isomorphisme de $L(S_i)$ sur une sous-algèbre $a_i$ de $g$.

b) On a $g = a_1 + a_2, a_1 \cap a_2 = \{0\}$ et $a_2$ est un idéal de $g$.

Pour $i = 1, 2$, notons $\psi_i$ l’homomorphisme de $L(S_i)$ dans $g$ qui prolonge $\varphi_i$, et $a_i$ son image. Il est clair que $\varphi_i(S_i)$ engendre $a_i$.

Soit $s_1 \in S_1$; on pose $D = \mathrm{ad}\, \varphi_1(s_1)$. La dérivation $D$ de $g$ applique $\varphi_2(S_2)$ dans $a_2$ d’après la relation

comme la sous-algèbre $a_2$ de $g$ est engendrée par $\varphi_2(S_2)$, on a donc $D(a_2) \subset a_2$. L’ensemble des $x \in g$ tels que $\mathrm{ad}\, x$ laisse stable $a_2$ est une sous-algèbre de Lie de $g$, qui contient $\varphi_1(S_1)$ d’après ce qui précède, donc aussi $a_1$. On a donc

(23)

Par suite $a_1 + a_2$ est une sous-algèbre de Lie de $g$, et comme elle contient l’ensemble générateur $\varphi_1(S_1) \cup \varphi_2(S_2)$, on a

(24)

Pour tout $s_1 \in S_1$, il existe une dérivation $D_{s_1}$ de $L(S_2)$ telle que $D_{s_1}(s_2) = d(s_1, s_2)$ pour tout $s_2$ dans $S_2$ (n° 8, cor. de la prop. 8). L’application $s_1 \mapsto D_{s_1}$ se prolonge en un homomorphisme $D$ de $L(S_1)$ dans l’algèbre de Lie des dérivations de $L(S_2)$. Soit $\mathfrak{h}$ le produit semi-direct de $L(S_1)$ par $L(S_2)$ correspondant à $D$ (chap. I, § 1, n° 8). En tant que module, $\mathfrak{h}$ est égal à $L(S_1) \times L(S_2)$, et l’on a en particulier

(25)

pour $s_1 \in S_1$ et $s_2 \in S_2$.

De (25) on déduit l’existence d’un homomorphisme $f$ de $g$ dans $\mathfrak{h}$ tel que $f(\varphi_1(s_1)) = (s_1, 0)$ et $f(\varphi_2(s_2)) = (0, s_2)$ pour $s_1 \in S_1$ et $s_2 \in S_2$. On en déduit aussitôt la relation

(26)

pour $a_1 \in L(S_1)$ et $a_2 \in L(S_2)$.

La relation (26) montre que $\psi_1$ et $\psi_2$ sont injectifs et que $a_1 \cap a_2 = \{0\}$. Les formules (23) et (24) entraînent alors la proposition.

a) Le module $L(X)$ est somme directe de la sous-algèbre $L(S)$ de $L(X)$ et de l’idéal $a$ de $L(X)$ engendré par $X - S$.

b) Il existe un isomorphisme d’algèbres de Lie $\varphi$ de $L(T)$ sur $a$ qui transforme $(s_1, \ldots, s_n, x)$ en $(\mathrm{ad}\, s_1 \circ \ldots \circ \mathrm{ad}\, s_n)(x)$.

Soit $g$ l’algèbre de Lie construite comme dans la prop. 9 avec les données

pour $t = (s_1, \ldots, s_n, x)$ dans $T$ et $s \in S_1$. Nous identifions $L(S)$ et $L(T)$ à leurs images canoniques dans $g$ (prop. 9, $a$).

Soit $\psi$ l’application $(s_1, \ldots, s_n, x) \mapsto (\operatorname{ad} s_1 \circ \cdots \circ \operatorname{ad} s_n)(x)$ de $T$ dans $L(X)$. On a évidemment $\psi(d(s, t)) = [s, \psi(t)]$ pour $s \in S$ et $t \in T$, et il existe donc un homomorphisme $\alpha : g \to L(X)$ dont la restriction à $S$ est l’identité et dont la restriction à $T$ est $\psi$. On a $X - S \subset T$, d’où un homomorphisme $\beta : L(X) \to g$ dont la restriction à $X = S \cup (X - S)$ est l’identité.

Montrons que $\alpha$ est un isomorphisme, et $\beta$ l’isomorphisme réciproque. Comme on a $\psi(x) = x$ pour $x$ dans $X - S$, on voit que $\alpha \circ \beta$ coïncide avec l’identité dans $X$, d’où $\alpha \circ \beta = \operatorname{Id}_{L(X)}$. On a par ailleurs $[s, t] = d(s, t)$ dans $g$ pour $s \in S, t \in T$, par construction même; on en déduit que $t = (s_1, \ldots, s_n, x)$ est égal dans $g$ à $(\operatorname{ad} s_1 \circ \cdots \circ \operatorname{ad} s_n)(x)$, d’où $t = \beta(\alpha(s))$. Comme on a $\beta(\alpha(s)) = s$ pour $s \in S$ et que $S \cup T$ engendre $g$, on a $\beta \circ \alpha = \operatorname{Id}_g$.

Comme $\alpha$ est un isomorphisme de $g$ sur $L(X)$, la prop. 9 montre que la restriction de $\alpha$ à $L(T)$ est un isomorphisme $\varphi$ de $L(T)$ sur un idéal $b$ de $L(X)$, tel que le module $L(X)$ soit somme directe de $L(S)$ et $b$. On a évidemment

pour $(s_1, \ldots, s_n, x)$ dans $T$.

On a donc $\varphi(T) \subset a$, d’où $b \subset a$ puisque $\varphi(T)$ engendre la sous-algèbre $b$ de $L(X)$. Mais $b$ est un idéal et $X - S \subset \varphi(T) \subset b$, d’où $a \subset b$.