Exercice 7, § 2

Groupes et algèbres de Lie, II

On suppose que K est un corps. Soit l une algèbre de Lie libre, de famille basique $(x_i)_{i \in I}$ , et soit M un l-module. a) Montrer que $H^2(l, M) = \{0\}$ , cf. chap. I, § 3, exerc. 12. (Utiliser le cor. 2 de la prop. 1, ainsi que la partie (i) de l’exercice en question.) b) Montrer que, pour toute famille $(m_i)_{i \in I}$ d’éléments de M, il existe un cocycle $\varphi : l \to M$ , de degré 1, tel que $\varphi(x_i) = m_i$ , et que ce cocycle est unique. En déduire une suite exacte:

0 \to H^0(l, M) \to M \to M^l \to H^1(l, M) \to 0.

Si I est fini, de cardinal

n

, et si M est de rang fini sur K, on a

\operatorname{rg} H^1(l, M) - \operatorname{rg} H^0(l, M) = (n - 1) \operatorname{rg} M.

Solution

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