Bourbaki

Bài tập 7, § 2

Nhóm Lie và đại số Lie, II, 183

Giả sử K là một trường. Cho l là một đại số Lie tự do với họ cơ sở (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} và cho M là một l-môđun. (a) Chứng minh rằng H2(l,M)={0}H^2(l, M) = \{0\}, xem Chương I, § 3, Bài tập 12. (Sử dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 1 và phần (i) của Bài tập đang xét.) (b) Chứng minh rằng, với mọi họ (mi)i∈I(m_i)_{i \in I} các phần tử của M, tồn tại một cocycle ϕ:l→M\phi : l \to M bậc 1 sao cho ϕ(xi)=mi\phi(x_i) = m_i và cocycle này là duy nhất. Suy ra một dãy khớp:

0→H0(l,M)→M→Ml→H1(l,M)→0. 0 \to H^0(l, M) \to M \to M^l \to H^1(l, M) \to 0.
Nếu I là hữu hạn có lực lượng n và M có hạng hữu hạn trên K, thì
rg⁡H1(l,M)−rg⁡H0(l,M)=(n−1)rg⁡M. \operatorname{rg} H^1(l, M) - \operatorname{rg} H^0(l, M) = (n - 1) \operatorname{rg} M.

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Bản dịch máy từ tiếng Anh, bởi gpt-5-6. Chưa được người kiểm tra.