(a) Sự tồn tại của F: cho h là đồng cấu từ Lib(X) vào $g$ mở rộng f (no. 1). Với mọi $a$ trong Lib(X), $h(Q(a)) = h(a.a) = [h(a), h(a)] = 0$; tương tự, đồng nhất thức Jacobi thỏa mãn bởi $g$ kéo theo rằng $h(J(a, b, c)) = 0$ với $a, b, c$ trong Lib(X). Suy ra rằng $h(a) = 0$, do đó tồn tại một đồng cấu F từ $L(X)$ vào $g$ sao cho $h = F \circ \psi$. Bằng cách hạn chế trên X, ta thu được $f = F \circ \phi$.

(b) Tính duy nhất của F: giả sử $F': L(X) \to g$ là một đồng cấu sao cho $f = F' \circ \phi$. Các đồng cấu $F \circ \psi$ và $F' \circ \psi$ từ Lib(X) vào $g$ trùng nhau trên X và do đó bằng nhau; vì $\psi$ là toàn ánh, $F = F'$.

Cho $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là các phần tử phân biệt của X và $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ là các phần tử của K sao cho

Cho $g$ là đại số Lie giao hoán có K làm môđun nền. Với $i = 1, 2, \ldots, n$, tồn tại một đồng cấu $F_i$ từ $L(X)$ vào $g$ sao cho $F_i(\phi(x_i)) = 1$ và $F_i(\phi(x)) = 0$ nếu $x \neq x_i$ (Mệnh đề 1); áp dụng $F_i$ vào quan hệ (3), ta được $\lambda_i = 0$.

Cho $a \xrightarrow{\lambda} g \xrightarrow{\mu} L(X)$ là một mở rộng như vậy (Chương I, § 1, no. 7). Vì $\mu$ là toàn ánh, tồn tại một ánh xạ f từ X vào $g$ sao cho $\phi = \mu \circ f$. Gọi F là đồng cấu từ $L(X)$ vào $g$ sao cho $f = F \circ \phi$ (Mệnh đề 1). Khi đó $(\mu \circ F) \circ \phi = \mu \circ f = \phi$ và Mệnh đề 1 cho thấy rằng $\mu \circ F$ là tự đẳng cấu đồng nhất của $L(X)$. Do đó mở rộng đã cho là không cốt yếu (Chương I, § 1, no. 7, Mệnh đề 6 và Định nghĩa 6).

Vì vành K khác không, Hệ quả 1 của Mệnh đề 1 cho thấy rằng $\phi$ là đơn ánh. Do đó tập hợp X có thể được đồng nhất nhờ $\phi$ với ảnh của nó trong $L(X)$; với quy ước này, X sinh $L(X)$ và mọi ánh xạ từ X vào một đại số Lie $g$ có thể được mở rộng thành một đồng cấu đại số Lie từ $L(X)$ vào $g$.

Sự tồn tại và tính duy nhất của $L(u)$ suy ra từ Mệnh đề 1 của No. 2. Các đồng cấu $L(v \circ u)$ và $L(v) \circ L(u)$ có cùng hạn chế lên X và do đó bằng nhau (Mệnh đề 1).

Vì mệnh đề là tầm thường đối với $X = \varnothing$, ta giả sử $X \neq \varnothing$. Nếu u là đơn ánh thì tồn tại một ánh xạ v từ Y vào X sao cho $v \circ u$ là ánh xạ đồng nhất của X; theo Mệnh đề 2, $L(v) \circ L(u)$ là tự đẳng cấu đồng nhất của $L(X)$ và do đó $L(u)$ là đơn ánh. Khi u là toàn ánh, tồn tại một ánh xạ w từ Y vào X sao cho $u \circ w$ là ánh xạ đồng nhất của Y; khi đó $L(u) \circ L(w)$ là ánh xạ đồng nhất của $L(Y)$, điều này chứng minh rằng $L(u)$ là toàn ánh.

† Nhắc lại (Đại số, Chương IV, § 5, No. 10) định nghĩa của các ánh xạ đa thức từ một môđun tự do M vào một môđun N: nếu q là một số nguyên $\geq 0$, một ánh xạ $f : M \to N$ được gọi là đa thức thuần nhất bậc q nếu tồn tại một ánh xạ đa tuyến tính u từ $M^q$ vào N sao cho

Cho X là một tập hợp và S là một tập con của X. Hệ quả trên cho thấy rằng đơn ánh chính tắc của S vào X có thể được mở rộng thành một đẳng cấu $\alpha$ từ $L(S)$ lên đại số con Lie $L'(S)$ của $L(X)$ được sinh bởi S; ta sẽ đồng nhất $L(S)$ và $L'(S)$ bằng cách sử dụng $\alpha$.

Cho $(S_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một họ có hướng phải các tập con của X có hợp là S. Quan hệ $S_\alpha \subset S_\beta$ kéo theo $L(S_\alpha) \subset L(S_\beta)$ và do đó họ các đại số con Lie $L(S_\alpha)$ của $L(X)$ là có hướng phải. Vì vậy $g = \bigcup_{\alpha \in I} L(S_\alpha)$ là một đại số con Lie của $L(X)$; khi đó $S \subset g$, do đó $L(S) \subset g$, và, vì $L(S_\alpha) \subset L(S)$ với mọi $\alpha \in I$, ta có $g \subset L(S)$. Suy ra

với mọi họ có hướng phải $(S_\alpha)_{\alpha \in I}$ các tập con của X.

Áp dụng điều trên cho họ các tập con hữu hạn của X, ta thấy rằng mọi phần tử của $L(X)$ đều có dạng $P(x_1, \ldots, x_n)$ trong đó P là một đa thức Lie theo n biến không xác định và $x_1, \ldots, x_n$ là các phần tử của X.

có tính chất $v(x \otimes 1) = x$ với $x \in X$. Hơn nữa, v là một đẳng cấu.

Áp dụng Mệnh đề 1 cho $g = L_{K'}(X)$ được xét như một đại số Lie trên K và ánh xạ $x \mapsto x$ của X vào g, ta thu được một K-đồng cấu $L_K(X) \to L_{K'}(X)$, do đó tồn tại một $K'$-đồng cấu $v : L_K(X) \otimes K' \to L_{K'}(X)$. Sự kiện v là duy nhất và là một đẳng cấu suy ra từ sự kiện rằng cặp có thứ tự $(L_K(X) \otimes K', x \mapsto x \otimes 1)$ là một nghiệm của cùng một bài toán ánh xạ phổ quát như cặp có thứ tự $(L_{K'}(X), x \mapsto x)$.

Cho đại số Lie $L(X) = \mathrm{Lib}(X)/a$ được trang bị phân bậc thương. Thành phần thuần nhất của $L(X)$ có bậc $\delta$ được ký hiệu bởi $L^\delta(X)$; nó là môđun con của $L(X)$ được sinh bởi các ảnh của các phần tử $w \in M(X)$ sao cho $\phi(w) = \delta$.

Chúng ta sẽ sử dụng đặc biệt hai trường hợp sau: (a) Phân bậc toàn phần: ta lấy $\Delta = \mathbf{N}$ và $\phi_0(x) = 1$ với mọi $x \in X$, do đó $\phi(w) = l(w)$ đối với $w$ trong $M(X)$. K-môđun $L^n(X)$ được sinh bởi các ảnh của các phần tử có độ dài $n$ trong $M(X)$, mà ta sẽ gọi là các phần tử xen kẽ có bậc n. Sau này ta sẽ thấy rằng môđun $L^n(X)$ là tự do và nhận một cơ sở gồm các phần tử xen kẽ có bậc $n$ (no. 11, Định lý 1). Khi đó $L(X) = \bigoplus_{n \geq 1} L^n(X)$ và $L^1(X)$ nhận $X$ làm cơ sở (no. 2, Hệ quả 1 đối với Mệnh đề 1). Theo phép dựng $M(X)$,

(b) Phân bậc đa: ta lấy $\Delta$ là nửa nhóm giao hoán tự do $\mathbf{N}^{(X)}$ được dựng trên $X$. Ánh xạ $\phi_0$ từ $X$ vào $\Delta$ được xác định bởi $(\phi_0(x))(x') = \delta_{xx'}$, trong đó $\delta_{xx'}$ là ký hiệu Kronecker. Đối với $w \in M(X)$ và $x \in X$, số nguyên $(\phi(w))(x)$ là "số lần xuất hiện của chữ cái $x$ trong $w$". Đối với $\alpha$ trong $\mathbf{N}^{(X)}$, ta viết $|\alpha| = \sum_{x \in X} \alpha(x)$, do đó $|\phi(w)| = l(w)$ với mọi $w$ trong $M(X)$. Suy ra rằng

Cho $\alpha \in \mathbf{N}^{(S)}$. Môđun $L^\alpha(S)$ được sinh bởi các ảnh trong $L(X)$ của các phần tử $w$ trong $M(S)$ sao cho $\phi(w) = \alpha$, nghĩa là (Đại số, § 7, no. 9, các công thức (23) và (24)) tập hợp các $w$ trong $M(X)$ sao cho $\phi(w) = \alpha$. Do đó $L^\alpha(S) = L^\alpha(X)$.

Mệnh đề suy ra từ điều này và quan hệ $L(S) = \sum_{\alpha \in \mathbf{N}^{(S)}} L^\alpha(S)$.

Khi ta lấy $P = g$, dãy $(P_n)$ là chuỗi trung tâm dưới ($\mathscr{C}^n g$) của $g$ (Chương I, § 1, no. 5). Do đó:

Tổng quát hóa Định nghĩa 1 của Chương I, § 4, no. 1, ta sẽ nói rằng một đại số Lie $g$ là lũy linh nếu $\mathscr{C}^n g = \{0\}$ với $n$ đủ lớn. Lớp lũy linh của một đại số Lie lũy linh $g$ là số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho $\mathscr{C}^{n+1} g = \{0\}$.

(a) Ta áp dụng Mệnh đề 5 với $g = L(X)$ và $P = L^1(X)$. Bằng quy nạp theo $n$, từ (12) (no. 6) và (19) ta suy ra đẳng thức $P_n = L^n(X)$. Quan hệ cần chứng minh khi đó tương đương với định nghĩa $[P, P_n] = P_{n+1}$. (b) Điều này suy ra từ (a) bằng quy nạp theo $n$. (c) Cho $g = L(X)$ và $g_n = \sum_{p \geq n} L_p(X)$. Khi đó $g = g_1$ và công thức (13) của no. 6 suy ra $[g_n, g_m] \subset g_{n+m}$ và đặc biệt $[g, g_n] \subset g_{n+1}$. Bằng quy nạp theo $n$, $\mathscr{C}^n g \subset g_n$. Mặt khác, từ (a) ta suy ra $L^n(X) \subset \mathscr{C}^n g$ bằng quy nạp theo $n$. Vì $\mathscr{C}^n g$ là một iđêan của $g$, quan hệ $L^p(X) \subset \mathscr{C}^n g$ suy ra rằng

với $a, a'$ thuộc $L(X)$ và $m, m'$ thuộc $M$ (Chương I, § 1, No. 8). Cho $f$ là đồng cấu của $L(X)$ vào $g$ sao cho $f(x) = (d(x), x)$ với mọi $x$ thuộc $X$; cho $f(a) = (D(a), u(a))$ với mọi $a$ thuộc $L(X)$. Theo công thức (21), $u$ là một đồng cấu của $L(X)$ vào chính nó; vì $u(x) = x$ với $x$ thuộc $X$, nên $u(a) = a$ với mọi $a$ thuộc $L(X)$, do đó

Theo (21) và (22), quan hệ (20) suy ra từ $f([a, a']) = [f(a), f(a')]$.

Ngược lại, cho $D'$ là một ánh xạ của $L(X)$ vào $M$ thỏa mãn quan hệ (20') tương tự như (20) và mở rộng $d$. Cho $f'(a) = (D'(a), a)$ với $a \in L(X)$; theo (20') và (21), $f'$ là một đồng cấu của $L(X)$ vào $g$, trùng với $f$ trên $X$, do đó $f' = f$ và $D' = D$.

Khi $M$ bằng $L(X)$ với biểu diễn phụ hợp, quan hệ (20) có nghĩa là $D$ là một đạo hàm.

(a) *Với $i = 1, 2$, hạn chế $\phi_i$ của $\psi$ trên $S_i$ có thể được mở rộng thành một đẳng cấu của $L(S_i)$ lên một đại số con $a_i$ của $g$.

(b) $g = a_1 + a_2, a_1 \cap a_2 = \{0\}$ và $a_2$ là một iđêan của $g$.

Với $i = 1, 2$, ký hiệu $\psi_i$ là đồng cấu của $L(S_i)$ vào $g$ mở rộng $\phi_i$ và $a_i$ là ảnh của nó. Rõ ràng $\phi_i(S_i)$ sinh $a_i$.

Cho $s_1 \in S_1$; ta viết $D = \operatorname{ad} \phi_1(s_1)$. Đạo hàm $D$ của $g$ ánh xạ $\phi_2(S_2)$ vào $a_2$ theo quan hệ

vì đại số con $a_2$ của $g$ được sinh bởi $\phi_2(S_2)$, do đó $D(a_2) \subset a_2$. Tập hợp các $x \in g$ sao cho $\operatorname{ad} x$ giữ $a_2$ bất biến là một đại số Lie con của $g$ chứa $\phi_1(S_1)$ theo điều trên và vì thế cũng chứa $a_1$. Do đó