Bằng quy nạp theo $n \geqslant$, các ánh xạ $f_n : M_n(X) \to M$ được định nghĩa như sau: đặt f_1 = f; với n \geq 2, ánh xạ f_n được định nghĩa bởi $f_n(w.w') = f_p(w).f_{n-p}(w')$ với $p = 1, 2, \ldots, n-1$ và $(w, w')$ thuộc $M_p(X) \times M_{n-p}(X)$. Gọi $g$ là ánh xạ từ $M(X)$ vào $M$ cảm sinh $f_n$ trên $M_n(X)$ với mọi số nguyên $n \geq 1$. Rõ ràng $g$ là cấu xạ duy nhất từ $M(X)$ vào $M$ mở rộng $f$.

Let $u$ là một ánh xạ từ $X$ vào một tập hợp $Y$. Theo Mệnh đề 1, tồn tại duy nhất một đồng cấu từ $M(X)$ vào $M(Y)$ trùng với $u$ trên $X$. Nó sẽ được ký hiệu là $M(u)$. Nếu $v$ là một ánh xạ từ $Y$ vào một tập hợp $Z$, thì đồng cấu $M(v) \circ M(u)$ từ $M(X)$ vào $M(Z)$ trùng với $v \circ u$ trên $X$, do đó

Giả sử $u$ là đơn ánh. Khi $X$ rỗng, $M(X)$ rỗng, do đó $M(u)$ là đơn ánh. Nếu $X$ không rỗng, tồn tại một ánh xạ $v$ từ $Y$ vào $X$ sao cho $v \circ u$ là ánh xạ đồng nhất của $X$ (Lý thuyết tập hợp, II, § 3, no. 8, Mệnh đề 8); ánh xạ $M(v) \circ M(u) = M(v \circ u)$ là ánh xạ đồng nhất của $M(X)$ và do đó $M(u)$ là đơn ánh.

Khi $u$ là toàn ánh, tồn tại một ánh xạ $w$ từ $Y$ vào $X$ sao cho $u \circ w$ là ánh xạ đồng nhất của $Y$ (Lý thuyết tập hợp, II, § 3, no. 8, Mệnh đề 8). Khi đó $M(u) \circ M(w) = M(u \circ w)$ là ánh xạ đồng nhất của $M(Y)$ và do đó $M(u)$ là toàn ánh.

Cuối cùng, nếu $u$ là song ánh, thì nó là đơn ánh và toàn ánh và do đó $M(u)$ có cùng các tính chất đó.

Cho $S$ là một tập con của $X$. Theo Mệnh đề 2, phép đơn ánh từ $S$ vào $X$ có thể được mở rộng thành một đẳng cấu từ $M(S)$ lên một magma con $M'(S)$ của $M(X)$. Hai magma $M(S)$ và $M'(S)$ được đồng nhất với nhau nhờ đẳng cấu này. Khi đó $M(S)$ là magma con của $M(X)$ được sinh bởi $S$.

Cho $X$ là một tập hợp và $(u_\alpha, v_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một họ các cặp có thứ tự của các phần tử của $M(X)$. Cho $R$ là quan hệ tương đương trên $M(X)$ tương thích với luật của $M(X)$ và được sinh bởi các $(u_\alpha, v_\alpha)$ (§ 1, no. 6). M magma $M(X)/R$ được gọi là magma được xác định bởi $X$ và các liên hệ $(u_\alpha, v_\alpha)_{\alpha \in I}$. Cho $h$ là cấu xạ chính tắc của $M(X)$ lên $M(X)/R$. Khi đó $M(X)/R$ được sinh bởi $h(X)$.

Cho $N$ là một magma và $(n_x)_{x \in X}$ là một họ các phần tử của $N$. Cho $k$ là cấu xạ từ $M(X)$ đến $N$ sao cho $k(x) = n_x$ với mọi $x \in X$ (Mệnh đề 1). Nếu $k(u_\alpha) = k(v_\alpha)$ với mọi $\alpha \in I$, thì tồn tại duy nhất một cấu xạ $f : M(X)/R \to N$ sao cho $f(h(x)) = n_x$ với mọi $x \in X$ (§ 1, no. 6, Mệnh đề 9).

Cho $g$ là một đồng cấu từ $\mathrm{Mo}(\mathbf{X})$ vào $M$ mở rộng $f$. Nếu $w = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một từ, thì $w = \prod_{i=1}^n x_i$ trong monoid $\mathrm{Mo}(\mathbf{X})$, do đó

trong monoid $M$ (§ 1, no. 2, công thức (2)). Điều này chứng minh tính duy nhất của $g$.

Đặt $h(w) = \prod_{i=1}^n f(x_i)$ với mọi từ $w = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$. Định lý tính kết hợp (§ 1, no. 3, Định lý 1) và định nghĩa của tích trong $\mathrm{Mo}(\mathbf{X})$ suy ra $h(ww') = h(w)h(w')$. Theo quy ước, tích rỗng $h(e)$ là phần tử đơn vị của $M$ và $h(x) = f(x)$ với mọi $x \in \mathbf{X}$. Do đó $h$ là một đồng cấu của $\mathrm{Mo}(x)$ vào $M$ mở rộng $f$.

Cho $u : \mathbf{X} \to \mathbf{Y}$ là một ánh xạ. Theo Mệnh đề 3, tồn tại một và chỉ một cấu xạ từ Mo(X) vào Mo(Y) trùng với u trên X; nó được ký hiệu bởi Mo(u). Nó gửi một từ $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ tới từ $(u(x_i))_{1 \leq i \leq n}$. Cũng như trong trường hợp của magma (no. 1), đẳng thức Mo(v \circ u) = Mo(v) \circ Mo(u) được xác lập với mọi ánh xạ $v : Y \to Z$ và có thể chứng minh rằng Mo(u) là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) nếu u là như vậy. Với mọi tập con S của X, Mo(S) được đồng nhất với monoid con của Mo(X) được sinh bởi S.

Cho X là một tập hợp và $(u_\alpha, v_\alpha)_{\alpha \in I}$ là một họ các cặp có thứ tự của các phần tử của Mo(X). Cho R là quan hệ tương đương trên Mo(X) tương thích với luật trên Mo(X) và được sinh bởi các $(u_\alpha, v_\alpha)$ (§ 1, no. 6). Monoid Mo(X)/R được gọi là monoid được định nghĩa bởi X và các quan hệ sinh $(u_\alpha, v_\alpha)_{\alpha \in I}$. Cho h là cấu xạ chính tắc của Mo(X) lên Mo(X)/R. Khi đó Mo(X) được sinh bởi h(X).

Cho N là một monoid và $(n_x)_{x \in X}$ là một họ các phần tử của N. Cho k là cấu xạ của Mo(X) vào N sao cho $k(x) = n_x$ với mọi $x \in X$ (Mệnh đề 3). Nếu $k(u_\alpha) = k(v_\alpha)$ với mọi $\alpha \in I$, tồn tại một và chỉ một cấu xạ magma $f : Mo(X)/R \to N$ sao cho $f(h(x)) = n_x$ với mọi $x \in X$ (§ 1, no. 6, Mệnh đề 9); vì k có đơn vị, f là một cấu xạ monoid.

(b) Cho $M'$ là một vị nhóm và $f' : M_i \to M'$ (với $i \in I$) là các đồng cấu sao cho $f_i \circ h_i$ độc lập với $i \in I$. Tồn tại duy nhất một đồng cấu $f : M \to M'$ sao cho $f_i = f \circ \phi_i$ với mọi $i \in I$.

Trong phần tiếp theo, ta sẽ đưa ra giả thiết sau:

(A) Với mọi $i \in I$, tồn tại một tập con $P_i$ của $M_i$ chứa $e_i$ sao cho ánh xạ $(a, p) \mapsto h_i(a).p$ từ $A \times P_i$ vào $M_i$ là song ánh.

Điều này kéo theo rằng các đồng cấu $h_i$ là đơn ánh. Cho $x \in M$; mọi dãy hữu hạn $\sigma = (a; i_1, \ldots, i_n; p_1, \ldots, p_n)$ với $a \in A, i_\alpha \in I$ và $p_\alpha \in P_{i_\alpha}$ với $1 \leq \alpha \leq n$, thỏa mãn

được gọi là một phân tích của $x$. Số nguyên $n \geq 0$ được gọi là độ dài của phân tích $\sigma$ và được ký hiệu bởi $l(\sigma)$; dãy $(e)$ là một phân tích có độ dài 0 của phần tử đơn vị của $M$. Phân tích $\sigma$ được gọi là thu gọn nếu $i_\alpha \neq i_{\alpha+1}$ với $1 \leq \alpha < n$ và $p_\alpha \neq e_{i_\alpha}$ với $1 \leq \alpha \leq n$.

(A) Tính duy nhất của một phân tích thu gọn:

Gọi $\Sigma$ là tập hợp các dãy $\sigma = (a; i_1, \ldots, i_n; p_1, \ldots, p_n)$ với $n \geq 0$, $a \in A, i_\alpha \in I$ và $p_\alpha \in P_{i_\alpha} - \{e_{i_\alpha}\}$ với $1 \leq \alpha \leq n$, sao cho $i_\alpha \neq i_{\alpha+1}$ với $1 \leq \alpha < n$. Gọi $\Phi$ là ánh xạ từ $\Sigma$ vào $M$ được xác định bởi

Một phân tích thu gọn của $x \in M$ là một phần tử $\sigma$ của $\Sigma$ sao cho $\Phi(\sigma) = x$.

Với mọi $i \in I$, gọi $\Sigma_i$ là tập con của $\Sigma$ gồm các dãy $(e; i_1, \ldots, i_n; p_1, \ldots, p_n)$ với $i \neq i_1$ khi $n > 0$. Gọi

là thuộc $\Sigma_i$ và $\xi$ thuộc $M_i$; giả sử $\xi = h_i(a) \cdot p$ với $a \in A$ và $p \in P_i$, và

Hiển nhiên rằng $\Psi_i$ là một song ánh từ $M_i \times \Sigma_i$ lên $\Sigma$.

Cho $i \in I$ và $x \in M_i$; vì $\Psi_i$ là song ánh, một ánh xạ $f_{i,x}$ của $\Sigma$ vào chính nó được xác định bởi

Hơn nữa, với $a \in A, f_a$ ký hiệu ánh xạ của $\Sigma$ vào chính nó được xác định bởi

Rõ ràng $f_{i,e_i}$ là ánh xạ đồng nhất của $\Sigma$ và $f_{i,xx'} = f_{i,x} \circ f_{i,x'}$ với $x, x'$ trong $M_i$ và $f_{i,h_i(a)} = f_a$ với $a \in A$ và $i \in I$.

Khi đó Mệnh đề 4 có thể được áp dụng vào trường hợp mà $M'$ là nửa nhóm các ánh xạ của $\Sigma$ vào chính nó với luật hợp thành $(f,f') \mapsto f \circ f'$ và trong đó f_i là đồng cấu $x \mapsto f_{i,x}$ của $M_i$ vào $M'$; khi đó tồn tại một đồng cấu $f$ của $M$ vào $M'$ sao cho $f_{i,x} = f(\phi_i(x))$ với $i \in I$ và $x \in M_i$. Gọi

thuộc $\Sigma$. Các công thức (5) đến (7) suy ra bằng quy nạp theo $n$ quan hệ tức là $\sigma = f(\Phi(\sigma))(e)$. Điều này chứng minh rằng $\Phi$ là đơn ánh.

(B) Sự tồn tại của một phân tích:

Gọi $D$ là tập hợp các phần tử của $M$ nhận một phân tích. Khi đó $e \in D$ và $M$ được sinh bởi $\bigcup_{i \in I} \phi_i(M_i)$ và do đó bởi $h(A) \cup \bigcup_{i \in I} \phi_i(P_i)$. Khi đó $D.\phi_i(P_i) \subset D$ với mọi $i \in I$; để chứng minh rằng $D = M$, suy ra chỉ cần chứng minh quan hệ $D.h(A) \subset D$. Điều này theo từ bổ đề chính xác hơn sau:

(C) Kết thúc chứng minh:

Cho $x \in M$ và cho $n$ là độ dài nhỏ nhất của các phân tích của $x$. Ta sẽ chứng minh rằng mọi phân tích $\sigma$ của $x$ có độ dài $n$ đều là rút gọn. Điều đó sẽ chứng minh sự tồn tại của một phân tích rút gọn của $x$; tính duy nhất của phân tích rút gọn khi đó suy ra $l(\sigma') > l(\sigma)$ với mọi phân tích $\sigma' \neq \sigma$ của $x$.

Trường hợp $n = 0$ là tầm thường, giả sử $n > 0$. Cho

là một phân tích của $x$ có độ dài $n$. Nếu tồn tại một số nguyên $\alpha$ với $1 \leq \alpha \leq n$ và $p_\alpha = e_{i_\alpha}$, thì dãy

sẽ là một phân tích của $x$ có độ dài $n - 1$, điều này bị loại. Giả sử rằng tồn tại một số nguyên $\alpha$ với $1 \leq \alpha < n$ và $i_{\alpha} = i_{\alpha + 1}$ và cho

với $a' \in \mathbf{A}$ và $p'_{\alpha} \in P_{i_{\alpha}}$; theo Bổ đề 1 tồn tại các phần tử $a'' \in \mathbf{A}$, sao cho và dãy là một phân tích của $x$ có độ dài $n - 1$, điều này là mâu thuẫn.

Vậy ta đã chứng minh rằng $\sigma$ là rút gọn.

Trước hết $h$ là đơn ánh: nếu $h(a) = h(a')$, thì $(a)$ và $(a')$ là hai phân tích rút gọn của cùng một phần tử của $M$, do đó $a = a'$. Cho $i \in I$; khi đó $h(\mathbf{A}) = \phi_{i}(h_{i}(\mathbf{A})) \subset \phi_{i}(M_{i})$; tính duy nhất của các phân tích rút gọn suy ra

do đó $\phi_{i}(M_{i} - h_{i}(\mathbf{A})) = \phi_{i}(M_{i}) - h(\mathbf{A})$.

Tính đơn ánh của các đồng cấu $\phi_{i}$ và quan hệ

với $i \neq j$ khi đó là hệ quả của sự kiện sau: với $i, j$ thuộc $I$, $x$ thuộc $M_{i} - h_{i}(\mathbf{A})$ và $y$ thuộc $M_{j} - h_{j}(\mathbf{A})$, quan hệ $\phi_{i}(x) = \phi_{j}(y)$ kéo theo $i = j$ và $x = y$. Cho $x = h_{i}(a) \cdot p$ và $y = h_{j}(b) \cdot q$ với $a, b$ thuộc $\mathbf{A}$, $p$ thuộc $P_{i} - \{e_{i}\}$ và $y$ thuộc $P_{j} - \{e_{j}\}$. Khi đó $\phi_{i}(x) = h(a)\phi_{i}(p)$ và $\phi_{j}(y) = h(b)\phi_{j}(q)$ và do đó $(a; i; p)$ và $(b; j; q)$ là hai phân tích rút gọn của cùng một phần tử của $M$. Suy ra $i = j, a = b$ và $p = q$, do đó $x = h_{i}(a)p = h_{j}(b)q = y$.

Khi giả thiết (A) được thỏa mãn, ta sẽ đồng nhất mỗi monoid $M_{i}$ với một monoid con của $M$ nhờ $\phi_{i}$; tương tự, ta sẽ đồng nhất $\mathbf{A}$ với một monoid con của $M$ nhờ $h$. Khi đó $M$ được sinh bởi $\bigcup_{i \in I} M_{i}$ và $M_{i} \cap M_{j} = \mathbf{A}$ với $i \neq j$.

Mỗi phần tử của $M$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $a \prod_{\alpha = 1}^{n} p_{\alpha}$ với $a \in \mathbf{A}, p_{1} \in P_{i_{1}} - \{e\}, \ldots, p_{n} \in P_{i_{n}} - \{e\}$ và $i_{\alpha} \neq i_{\alpha + 1}$ với $1 \leq \alpha < n$. Cuối cùng, nếu $M'$ là một monoid và $(f_{i}: M_{i} \to M')$ (với $i \in I$) là một họ các đồng cấu mà các hạn chế của chúng lên $\mathbf{A}$ đều là cùng một đồng cấu của $\mathbf{A}$ vào $M'$, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu $f: M \to M'$ cảm ứng $f_{i}$ trên $M_{i}$ với mọi $i \in I$.

Giả thiết (A) được thỏa mãn trong hai trường hợp quan trọng:

(a) $A = \{e\}$. Trong trường hợp này, có một họ $(M_i)_{i \in I}$ các monoid và $M$ được gọi là tổng monoid của họ này. Mỗi $M_i$ được đồng nhất với một monoid con của $M$ và $M$ được sinh bởi $\bigcup_{i \in I} M_i$; hơn nữa, $M_i \cap M_j = \{e\}$ nếu $i \neq j$. Mọi phần tử của $M$ đều có thể viết duy nhất dưới dạng $x_1 \ldots x_n$ với

và $i_\alpha \neq i_{\alpha+1}$ đối với $1 \leq \alpha \leq n$. Cuối cùng, với mọi họ các đồng cấu $(f_i : M_i \to M')$, tồn tại duy nhất một đồng cấu $f : M \to M'$ sao cho hạn chế của nó trên $M_i$ là $f_i$ với mọi $i \in I$.

(b) Có một họ các nhóm $(G_i)_{i \in I}$ chứa cùng một nhóm $A$ như một nhóm con và $h_i$ là đơn ánh của $A$ vào $G_i$. Tổng của họ $(G_i)_{i \in I}$ ghép theo $A$ khi đó là một nhóm $G$ : monoid $G$ được sinh bởi $\bigcup_{i \in I} \phi_i(G_i)$ và mọi phần tử của $\bigcup_{i \in I} \phi_i(G_i)$ đều có một nghịch đảo trong $G$ (xem § 2, no. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4); nó được ký hiệu bởi $*_A G_i$ hoặc $G_1 *_A G_2$ khi $I = \{1, 2\}$. Khi $A$ chỉ gồm phần tử đơn vị, người ta cũng nói rằng $G$ là tích tự do của họ $(G_i)_{i \in I}$ các nhóm và nó được ký hiệu bởi $* G_i$ (hoặc $G_1 * G_2$ nếu $I = \{1, 2\}$).†