3. Các sự tương ứng

1. Đồ thị và các sự tương ứng

là đúng.

Nếu G là một đồ thị, quan hệ $(x, y) \in G$ được diễn đạt bằng cách nói rằng "$y$ tương ứng với $x$ dưới G".

Cho $\boldsymbol{R}\{x, y\}$ là một quan hệ, trong đó $x$ và $y$ là các chữ cái phân biệt. Cho $\boldsymbol{G}$ là một chữ cái, phân biệt với $x$ và $y$, không xuất hiện trong $\boldsymbol{R}$. Nếu quan hệ

là đúng, thì quan hệ $\boldsymbol{R}$ được nói là có một đồ thị (đối với các chữ cái $x$ và $y$). Khi đó đồ thị $\boldsymbol{G}$ là duy nhất theo tiên đề ngoại diên, và được gọi là đồ thị của $\boldsymbol{R}$ đối với $x$ và $y$.

¶ Cho $Z$ là một chữ cái, phân biệt với $x$ và $y$, không xuất hiện trong $R$. Nếu quan hệ

là đúng, thì $R$ có một đồ thị; ta có thể lấy đồ thị này là tập hợp các cặp có thứ tự $z$ sao cho $z \in Z$ và $R \{ \mathrm{pr}_1 z,\ \mathrm{pr}_2 z \}$ ($z$ là một chữ cái phân biệt với $x$, $y$, $Z$ không xuất hiện trong $R$). Điều kiện này được thỏa mãn nếu ta biết một số hạng $T$, không chứa $x$ cũng không chứa $y$, sao cho $R \Rightarrow ((x,\ y) \in T)$ là đúng.

trong đó G là một đồ thị sao cho $\mathrm{pr}_1 \mathrm{G} \subset \mathrm{A}$ và $\mathrm{pr}_2 \mathrm{G} \subset \mathrm{B}$. G được gọi là đồ thị của $\Gamma$, A là nguồn, và B là đích của $\Gamma$.

Nếu $(x,\ y) \in \mathrm{G}$, ta nói rằng "$y$ tương ứng với $x$ trong sự tương ứng $\Gamma$". Với mỗi $x \in \mathrm{pr}_1 \mathrm{G}$, sự tương ứng $\Gamma$ được gọi là xác định tại $x$, và $\mathrm{pr}_1 \mathrm{G}$ được gọi là miền xác định của $\Gamma$; mỗi $y \in \mathrm{pr}_2 \mathrm{G}$ được gọi là một giá trị nhận được bởi $\Gamma$, và $\mathrm{pr}_2 \mathrm{G}$ được gọi là miền giá trị của $\Gamma$.

Nếu $R \{ x, y \}$ là một quan hệ có một đồ thị $G$ (đối với các chữ $x$, $y$), và nếu $A$, $B$ là hai tập hợp sao cho $\mathrm{pr}_1 G \subset A$ và $\mathrm{pr}_2 G \subset B$, ta nói rằng $R$ là một quan hệ giữa một phần tử của $A$ và một phần tử của $B$ (đối với các chữ $x$, $y$). Sự tương ứng $\Gamma = (G, A, B)$ được gọi là sự tương ứng giữa $A$ và $B$ được xác định bởi quan hệ $R$ (đối với $x$ và $y$).

Cho G là một đồ thị và X là một tập hợp. Quan hệ

kéo theo $(x, y) \in G$ và do đó có một đồ thị $G'$. Phép chiếu thứ hai của $G'$ gồm tất cả các đối tượng tương ứng theo G với các đối tượng của X.

Điều này suy ra ngay lập tức từ C43 (Chương I, § 5, no. 1) rằng quan hệ $y \in G\langle \{x\} \rangle$ tương đương với $(x, y) \in G$. Nếu G và $G'$ là hai đồ thị, quan hệ $G \subset G'$ do đó tương đương với

Nếu $\Gamma = (\mathrm{G}, \mathrm{A}, \mathrm{B})$ là một sự tương ứng giữa A và B, thì với mọi $x \in \mathrm{A}$ tiết diện của G tại $x$ cũng được gọi là tiết diện của $\Gamma$ tại $x$ và được ký hiệu bởi $\Gamma\langle\{x\}\rangle$ (hoặc $\Gamma(x)$).

2. Nghịch đảo của một sự tương ứng

Cho G là một đồ thị và $\mathrm{A} = \mathrm{pr}_1\mathrm{G}$, $\mathrm{B} = \mathrm{pr}_2\mathrm{G}$ là các ảnh chiếu của nó. Quan hệ $(y, x) \in \mathrm{G}$ kéo theo $(x, y) \in \mathrm{B} \times \mathrm{A}$; do đó quan hệ này có một đồ thị gồm tất cả các cặp có thứ tự $(x, y)$ sao cho $(y, x) \in \mathrm{G}$.

Với mọi tập hợp X, $\overset{-1}{\mathrm{G}}\langle\mathrm{X}\rangle$ được gọi là ảnh ngược của X qua G.

¶ Rõ ràng là nghịch đảo của $\overset{-1}{\mathrm{G}}$ là G, và

Đặc biệt, nếu X, Y là hai tập hợp, ta có

Một đồ thị G được gọi là đối xứng nếu $\overset{-1}{\mathrm{G}} = \mathrm{G}$.

¶ Cho $\Gamma = (\mathrm{G}, \mathrm{A}, \mathrm{B})$ là một sự tương ứng giữa A và B. Vì $\mathrm{pr}_1\overset{-1}{\mathrm{G}} \subset \mathrm{B}$ và $\mathrm{pr}_2\overset{-1}{\mathrm{G}} \subset \mathrm{A}$, bộ ba $(\overset{-1}{\mathrm{G}}, \mathrm{B}, \mathrm{A})$ là một sự tương ứng giữa B và A, được gọi là nghịch đảo của sự tương ứng $\Gamma$, và được ký hiệu bởi $\overset{-1}{\Gamma}$. Với mọi tập con Y của B, ảnh $\overset{-1}{\Gamma}\langle\mathrm{Y}\rangle$ của Y qua $\overset{-1}{\Gamma}$ cũng được gọi là ảnh ngược của Y qua $\Gamma$. Rõ ràng nghịch đảo của $\overset{-1}{\Gamma}$ là $\Gamma$.

3. Hợp thành của hai sự tương ứng

Cho G, G′ là hai đồ thị. Gọi A là tập hợp $\mathrm{pr}_1\mathrm{G}$ và gọi C là tập hợp $\mathrm{pr}_2\mathrm{G}'$. Quan hệ $(\exists y)((x, y) \in \mathrm{G}$ và $(y, z) \in \mathrm{G}')$ kéo theo rằng $(x, z) \in \mathrm{A} \times \mathrm{C}$, và do đó có một đồ thị đối với $x$ và $z$.

Suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 5 rằng nếu X là một tập con của A thì ta có $(\Gamma' \circ \Gamma)\langle \mathrm{X}\rangle = \Gamma'\langle \Gamma\langle \mathrm{X}\rangle\rangle$. Hơn nữa, vì đích của $\overset{-1}{\Gamma'}$ trùng với nguồn của $\overset{-1}{\Gamma}$, nghịch đảo của $\Gamma' \circ \Gamma$ là $\overset{-1}{\Gamma} \circ \overset{-1}{\Gamma'}$, theo Mệnh đề 3.

Rõ ràng ta có $\mathrm{pr}_1\Delta_\mathrm{A} = \mathrm{pr}_2\Delta_\mathrm{A} = \mathrm{A}$. Sự tương ứng

được gọi là sự tương ứng đồng nhất trên A; nó là nghịch đảo của chính nó.

¶ Nếu $\Gamma$ là một sự tương ứng giữa A và B và nếu $\mathrm{I}_\mathrm{A}$, $\mathrm{I}_\mathrm{B}$ lần lượt là các sự tương ứng đồng nhất trên A, B, thì $\Gamma \circ \mathrm{I}_\mathrm{A} = \mathrm{I}_\mathrm{B} \circ \Gamma = \Gamma$.

4. Hàm

Nếu $f$ là một hàm, F là đồ thị của nó, và $x$ là một phần tử của miền xác định của $f$, thì quan hệ $y = f(x)$ tương đương với $(x, y) \in \mathrm{F}$ (Chương I, § 5, no. 3, tiêu chuẩn C46).

5. Hạn chế và mở rộng của các hàm

Hai hàm $f$ và $g$ được gọi là trùng nhau (hay trùng nhau) trên một tập hợp E nếu E được chứa trong các miền xác định của $f$ và $g$ và nếu $f(x)=g(x)$ với mọi $x\in E$. Hai hàm có cùng đồ thị thì trùng nhau trên miền xác định của chúng. Nói rằng $f=g$ nghĩa là $f$ và $g$ có cùng miền xác định A và cùng tập đích B, và chúng trùng nhau trên A.

¶ Cho $f=(F,A,B)$ và $g=(G,C,D)$ là hai hàm. Nói rằng $F\subset G$ nghĩa là miền xác định A của $f$ được chứa trong miền xác định C của $g$ và $g$ trùng với $f$ trên A. Nếu còn có $B\subset D$, thì $g$ được gọi là một mở rộng của $f$ (chính xác hơn, là một mở rộng của $f$ đến C), và $g$ được gọi là mở rộng $f$ (đến C). Khi $g$ được gọi là một họ phần tử của D, $f$ được gọi là một họ con của $g$.

¶ Cho $f$ là một hàm và A là một tập con của miền xác định của $f$. Ngay lập tức thấy rằng quan hệ “$x\in A$ và $y=f(x)$” có một đồ thị G đối với $x$ và $y$, rằng đồ thị này là phiếm hàm, và rằng A là miền xác định của nó; hàm có đồ thị là G, có cùng tập đích với $f$, được gọi là hạn chế của $f$ trên $A$, và đôi khi được ký hiệu là $f|A$. Một hàm là một mở rộng của bất kỳ hạn chế nào của nó. Nếu hai hàm $f$, $g$ có cùng tập đích và trùng nhau trên một tập hợp $E$, thì các hạn chế của chúng trên $E$ là bằng nhau.

6. Định nghĩa một hàm bằng một số hạng

C54. Cho $T$, $A$ là hai thuật ngữ và cho $x$, $y$ là hai chữ cái phân biệt. Giả sử rằng $x$ không xuất hiện trong $A$ và $y$ không xuất hiện trong $T$ cũng như trong $A$. Gọi $R$ là quan hệ “$x \in A$ và $y = T$”. Quan hệ $R$ có một đồ thị $F$ đối với các chữ cái $x$ và $y$. Đồ thị này là một đồ thị hàm; phép chiếu thứ nhất của nó là $A$, và phép chiếu thứ hai của nó là tập hợp các đối tượng có dạng $T$ đối với $x \in A$ (§ 1, no. 6). Với mọi $x \in A$ ta có $F(x) = T$.

Gọi $B$ là tập hợp các đối tượng có dạng $T$ đối với $x \in A$. Khi đó

vì cấu tạo được ký hiệu bởi $A \times B$ không chứa $x$ cũng như $y$, $R$ có một đồ thị $F$ đối với các chữ cái $x$ và $y$ (no. 1). Hiển nhiên rằng quan hệ

suy ra $y = y'$, và do đó $F$ là một đồ thị hàm. Các mệnh đề còn lại là hiển nhiên.

¶ Nếu $C$ là một tập hợp chứa tập hợp $B$ gồm các đối tượng có dạng $T$ đối với $x \in A$ (trong đó $y$ không xuất hiện trong $C$), thì hàm $(F,A,C)$ cũng được ký hiệu bằng ký hiệu $x \to T$ ($x \in A$, $T \in C$); cấu tạo tương ứng trong toán học hình thức không chứa $x$ cũng như $y$ và không phụ thuộc vào lựa chọn chữ cái $y$ thỏa mãn các điều kiện trên. Khi ngữ cảnh đủ rõ ràng, đôi khi chúng ta sẽ cho phép dùng các ký hiệu $x \to T(x \in A)$, $(T)_{x \in A}$, hoặc $x \to T$, và đôi khi đơn giản là $T$ hoặc $(T)$. Do đó ta có thể nói về “hàm $x^3$”, nếu ngữ cảnh chỉ rõ rằng ta muốn nói đến ánh xạ $x \to x^3$ của tập hợp các số phức vào chính nó.

Ví dụ

7. Hợp thành của hai hàm. Hàm nghịch đảo

Thay vì nói rằng $f$ là toàn ánh, đôi khi ta nói rằng $f$ là một ánh xạ từ A lên B, hoặc rằng nó là một biểu diễn tham số của B bằng A (trong trường hợp đó A được gọi là tập hợp các tham số của biểu diễn, và các phần tử của A được gọi là các tham số). Nếu $f$ là song ánh, đôi khi ta nói rằng f đặt A và B vào sự tương ứng một-một. Một song ánh từ A lên A được gọi là một phép hoán vị của A.

Các ví dụ

8. Phép co rút và tiết diện

Thay cho phép co rút (tương ứng, tiết diện), đôi khi người ta dùng cụm từ ánh xạ nghịch đảo trái (tương ứng, ánh xạ nghịch đảo phải).

¶ Nếu $f$ là đơn ánh (tương ứng, toàn ánh) và nếu $r$ (tương ứng, $s$) là một phép co rút (tương ứng, tiết diện) của $f$, thì $f$ là một tiết diện (tương ứng, phép co rút) của $r$ (tương ứng, $s$). Do đó một phép co rút là toàn ánh và một tiết diện là đơn ánh.

¶ Nếu $f$ là toàn ánh và nếu $s$, $s'$ là hai tiết diện của $f$ sao cho $s(\mathrm{B}) = s'(\mathrm{B})$, thì $s = s'$; vì nếu $x \in \mathrm{B}$, tồn tại $y \in \mathrm{B}$ sao cho $s(x) = s'(y)$, và ta có $x = f(s(x)) = f(s'(y)) = y$, do đó $s(x) = s'(x)$ và do đó $s = s'$. Vậy một tiết diện $s$ được xác định duy nhất bởi tập hợp $s(\mathrm{B})$. Theo lối nói không chính thức, tập hợp $s(\mathrm{B})$ đôi khi được gọi là một tiết diện của $f$.