Bài tập 26, § 7

Cho $X$ là một tập hợp và $g$ là một phần tử của nhóm tự do $F(X)$. Gọi $g = \prod_{\alpha=1}^n x_\alpha^{m(\alpha)}$ là phân tích chính tắc của $g$ thành một tích các lũy thừa của các phần tử của $X$ (xem I, p. 84, mđ. 7). Độ dài của $g$ được gọi là số nguyên $l(g) = \sum_{\alpha} |m(\alpha)|$.

a) Người ta nói rằng $g$ là rút gọn tuần hoàn nếu có, hoặc $x_1 \neq x_n$, hoặc $x_1 = x_n$ và $m(1)m(n) > 0$. Bây giờ chứng minh rằng mỗi lớp liên hợp của $F(X)$ chứa một và chỉ một phần tử rút gọn tuần hoàn; đó là phần tử có độ dài nhỏ nhất của lớp đang xét. b) Một phần tử $x \in F(X)$ được gọi là nguyên thủy nếu không tồn tại một số nguyên $n \geq 2$ và một phần tử $g \in F(X)$ sao cho $x = g^n$. Bây giờ chứng minh rằng mọi phần tử $z \neq e$ của $F(X)$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $x^n$, với $n \geq 1$ và $x$ nguyên thủy. (Rút gọn về trường hợp $z$ là rút gọn tuần hoàn, và nhận xét rằng, nếu $z = x^n$, thì phần tử $x$ cũng là rút gọn tuần hoàn.) Bây giờ chứng minh rằng nhóm trung tâm hóa của $z$ trùng với nhóm trung tâm hóa của $x$; đó là nhóm con cyclic sinh bởi $x$.