Exercice 26, § 7

Soient $X$ un ensemble et $g$ un élément du groupe libre $F(X)$. Soit $g = \prod_{\alpha=1}^n x_\alpha^{m(\alpha)}$ la décomposition canonique de $g$ comme produit de puissances d’éléments de $X$ (cf. I, p. 84, prop. 7). On appelle longueur de $g$ l’entier $l(g) = \sum_{\alpha} |m(\alpha)|$.

a) On dit que $g$ est cycliquement réduit si l’on a, soit $x_1 \neq x_n$, soit $x_1 = x_n$ et $m(1)m(n) > 0$. Montrer que toute classe de conjugaison de $F(X)$ contient un élément cycliquement réduit et un seul; c’est l’élément de longueur minimum de la classe en question. b) Un élément $x \in F(X)$ est dit primitif s’il n’existe pas d’entier $n \geq 2$ et d’élément $g \in F(X)$ tels que $x = g^n$. Montrer que tout élément $z \neq e$ de $F(X)$ s’écrit de manière unique sous la forme $x^n$, avec $n \geq 1$ et $x$ primitif. (Se ramener au cas où $z$ est cycliquement réduit, et observer que, si $z = x^n$, l’élément $x$ est aussi cycliquement réduit.) Montrer que le centralisateur de $z$ est le même que celui de $x$; c’est le sous-groupe cyclique engendré par $x$.