Bài tập 11, § 2

Nhóm Lie và đại số Lie, II, 184

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Cho $Y$ và $Z$ là hai tập hợp rời nhau (với $Y$ được sắp thứ tự toàn phần), đặt $X = Y \cup Z$ và $l = L(X)$ . Gọi $a_Y$ là môđun con của $l$ sinh bởi $Z$ và $[l, l]$ ; nó là một iđêan của đại số Lie $l$ . Ta đề nghị tìm tường minh một họ cơ sở của $a_Y$ .

Gọi $M$ là tập hợp các hàm nguyên dương trên $Y$ có giá hữu hạn. Nếu $m \in M$ , ta ký hiệu $\theta^m$ là tự đồng cấu của $l$ cho bởi

\theta^m = \prod_{y \in Y} (\operatorname{ad} y)^{m(y)},

trong đó tích được lấy theo quan hệ thứ tự đã cho trên

Y

. Gọi

\mathscr{S}

là tập con của

Y \times M

gồm các cặp có thứ tự

(u, m)

sao cho tồn tại

y \in Y

mà

y > u

và

m(y) \geq 1

. Chứng minh rằng các phần tử

\theta^m(u) \quad \text{đối với} \quad (u, m) \in \mathscr{S} \quad \text{và} \quad \theta^m(z) \quad \text{đối với} \quad (z, m) \in Z \times M

tạo thành một họ cơ sở của đại số Lie

a_Y

(Rút gọn bài toán về trường hợp $Y$ hữu hạn và lập luận bằng quy nạp trên $\operatorname{Card}(Y)$ . Dùng Hệ quả của Mệnh đề 10 áp dụng cho phần tử lớn nhất $y$ của $Y$ và áp dụng giả thiết quy nạp cho $Y - \{y\}$ .)

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.