Exercice 11, § 2

Soient Y et Z deux ensembles disjoints (Y étant muni d’une structure d’ordre total), soit $X = Y \cup Z$ et soit $l = L(X)$. Soit $\alpha_Y$ le sous-module de $l$ engendré par Z et $[l, l]$; c’est un idéal de l’algèbre de Lie $l$. On se propose d’expliciter une famille basique de $\alpha_Y$.

Soit M l’ensemble des fonctions positives entières sur Y, à support fini. Si $m \in M$, on note $\theta^m$ l’endomorphisme de $l$ donné par

le produit étant relatif à la relation d’ordre donnée sur Y. On note $S$ la partie de $Y \times M$ formée des couples $(u, m)$ tels qu’il existe $y \in Y$ pour lequel $y > u$ et $m(y) \geq 1$. Montrer que les éléments forment une famille basique de l’algèbre de Lie $\alpha_Y$.

(Se ramener au cas où Y est fini, et raisonner par récurrence sur Card(Y). Utiliser le cor. de la prop. 10, appliqué au plus grand élément $y$ de Y, et appliquer l’hypothèse de récurrence à $Y - \{y\}$.)