§ 3. Algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie libre

§ 3. Algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie libre

Dans ce paragraphe, on note $A(X) = A_K(X)$ l’algèbre associative libre Libas(X) de l’ensemble $X$ sur l’anneau $K$ (A, III, p. 21, déf. 2). On identifie $X$ à son image canonique dans $A(X)$ ; rappelons que le $K$ -module $A(X)$ admet pour base le monoïde libre $Mo(X)$ déduit de $X$ ; on note $A^+(X)$ le sous-module de $A(X)$ engendré par les mots non vides.

1. Algèbre enveloppante de $L(X)$

Théorème 1

Soit $\alpha : L(X) \to A(X)$ l’unique homomorphisme d’algèbres de Lie prolongeant l’injection canonique de $X$ dans $A(X)$ (§ 2, n° 2, prop. 1). Soit $\sigma : L(X) \to U(L(X))$ l’application canonique de $L(X)$ dans son algèbre enveloppante et soit $\beta : U(L(X)) \to A(X)$ l’unique homomorphisme d’algèbres unifères tel que $\beta \circ \sigma = \alpha$ (chap. I, § 2, n° 1, prop. 1). Alors: a) $\alpha$ est injectif, et $\alpha(L(X))$ est un sous-module facteur direct de $A(X)$ . b) $\beta$ est bijectif.

Soient $B$ une $K$ -algèbre unifière et $\varphi$ une application de $X$ dans $B$ ; d’après la prop. 1 du § 2, n° 2, il existe un homomorphisme d’algèbres de Lie $\psi : L(X) \to B$ tel que $\psi | X = \varphi$ ; d’après la prop. 1 du chap. I, § 2, n° 1, il existe un homomorphisme d’algèbres unifères $\theta : U(L(X)) \to B$ tel que $\theta \circ \sigma = \psi$ , donc tel que $(\theta \circ \sigma) | X = \varphi$ . Comme $\sigma(X)$ engendre l’algèbre unifière $U(L(X))$ , l’homomorphisme $\theta$ est l’unique homomorphisme d’algèbres unifères satisfaisant à cette dernière condition. Ceci montre que le couple $(U(L(X)), \sigma | X)$ est une solution du même problème universel que $A(X)$ ; prenant pour $\varphi$ l’injection canonique de $X$ dans $A(X)$ , on en déduit que $\beta$ est un isomorphisme, ce qui démontre $b$ .

Enfin, comme $L(X)$ est un $K$ -module libre (§ 2, n° 11, cor. du th. 1), $\sigma$ est injectif et $\sigma(L(X))$ est un sous-module facteur direct de $U(L(X))$ (chap. I, § 2, n° 7, cor. 3 du th. 1). D’après $b$ , cela démontre $a$ .

Corollaire 1

Il existe sur l’algèbre $A(X)$ un unique coproduit faisant de $A(X)$ une bigèbre et tel que les éléments de $X$ soient primitifs. De plus, $\beta$ est un isomorphisme de la bigèbre $U(L(X))$ sur $A(X)$ munie de cette structure de bigèbre.

Cela résulte de l’assertion b) du théorème et du fait que $X$ engendre l’algèbre unifère $A(X)$ .

Dorénavant, on munit $A(X)$ de cette structure de bigèbre et on identifie $L(X)$ à son image par $\alpha$ , c’est-à-dire à la sous-algèbre de Lie de $A(X)$ engendrée par $X$ .

Corollaire 2

Si $K$ est un corps de caractéristique 0, $L(X)$ est l’algèbre de Lie des éléments primitifs de $A(X)$ .* Cela résulte du cor. 1 et du cor. de la prop. 9 du § 1, n° 5.

Remarque 1

Soit $K'$ un anneau commutatif contenant $K$ . Si on identifie $A(X), L(X)$ et $L_{K'}(X)$ à des parties de $A_{K'}(X)$ , il résulte de la partie a) du th. 1 la relation

L(X) = L_{K'}(X) \cap A(X).

Remarque 2

Le cor. 2 du th. 1 reste valable si on suppose seulement que le groupe additif de l’anneau $K$ est sans torsion. En effet, supposons d’abord $K = \mathbf{Z}$ ; tout élément primitif de $A(X)$ est un élément primitif de $A_{\mathbf{Q}}(X)$ , donc est dans $L_{\mathbf{Q}}(X) \cap A(X) = L(X)$ (cor. 2 et formule (1)). Dans le cas général, $K$ est plat sur $\mathbf{Z}$ et on applique la Remarque 2 du § 1, n° 2 et la prop. 3 du § 2, n° 5.

Remarque 3

Soient $\Delta$ un monoïde commutatif, $\varphi_0$ une application de $X$ dans $\Delta$ , $\varphi : Mo(X) \to \Delta$ l’homomorphisme de monoïde associé; si on munit $A(X)$ de la graduation $(A^\delta(X))_{\delta \in \Delta}$ définie en A, III, p. 31, Exemple 3 et $L(X)$ de la graduation $(L^\delta(X))_{\delta \in \Delta}$ définie au § 2, n° 6, on a aussitôt, pour $\delta \in \Delta$ , $L^\delta(X) \subset L(X) \cap A^\delta(X)$ . Comme $L$ est la somme des $L^\delta(X)$ pour $\delta \in \Delta$ , et que la somme des $L(X) \cap A^\delta(X)$ pour $\delta \in \Delta$ est directe, cela entraîne

L^\delta(X) = L(X) \cap A^\delta(X).

Remarque 4

Soit $A$ une algèbre associative unifère, et soit $t = (t_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de $A$ . On a un diagramme

\begin{array}{ccc} L(I) & \xrightarrow{f_t} & A \\ \downarrow i & & \uparrow g_t \\ A(I) \end{array}

où $i$ est l’injection canonique, $f_t$ est l’homomorphisme d’algèbre de Lie défini par $t$ et $g_t$ l’homomorphisme d’algèbre unifère tel que $g_t(i) = t_i$ pour $i \in I$ . Le diagramme est commutatif car $g_t \circ i$ et $f_t$ coïncident dans $I$ . Il en résulte que, si $P \in L(I)$ , l’élément $P((t_i)_{i \in I})$ défini au § 2, n° 4, coïncide avec l’élément $P((t_i)_{i \in I})$ défini en A, III, p. 24, Exemple 2.

2. Projecteur de $A^+(X)$ sur $L(X)$

Soit $\pi$ l’application linéaire de $A^+(X)$ dans $L(X)$ définie par

\pi(x_1 \ldots x_n) = (\mathrm{ad}(x_1) \circ \cdots \circ \mathrm{ad}(x_{n-1}))(x_n)

pour

n > 0, x_1, \ldots, x_n

dans

X

Proposition 1

a)* La restriction $\pi_0$ de $\pi$ à $L(X)$ est une dérivation de $L(X)$ . b) *Pour tout entier $n \geqslant 1$ et tout $u$ dans $L^n(X)$ , on a $\pi(u) = n.u$ .

a) Soient $E$ l’algèbre des endomorphismes du module $L(X)$ et $\theta$ l’homomorphisme de $A(X)$ dans $E$ tel que $\theta(x) = \mathrm{ad}\, x$ pour tout $x \in X$ . La restriction de $\theta$ à $L(X)$ est un homomorphisme d’algèbres de Lie de $L(X)$ dans $E$ , qui coïncide sur $X$ avec la représentation adjointe de $L(X)$ , d’où

\theta(u).v = [u, v] \quad \text{pour } u, v \text{ dans } L(X).

Soient

a

dans

A(X)

b

dans

A^+(X)

; on a

\pi(a.b) = \theta(a).\pi(b).

Il suffit en effet de considérer le cas

a = x_1 \ldots x_p,\ b = x_{p+1} \ldots x_{p+q}

avec

p \geqslant 0,\ q \geqslant 1

x_1, \ldots, x_{p+q}

dans

X

; mais alors (5) résulte immédiatement de (3) puisque l’on a

\theta(x) = \mathrm{ad}\, x

pour

x \in X

Soient $u$ et $v$ dans $L(X)$ ; d’après (4) et (5), on a

\begin{align*} \pi_0([u, v]) &= \pi(uv - vu) = \theta(u).\pi(v) - \theta(v).\pi(u) \\ &= [u, \pi(v)] - [v, \pi(u)] = [u, \pi_0(v)] + [\pi_0(u), v], \end{align*}

donc

\pi_0

est une dérivation de

L(X)

b) Soit $\pi_1$ l’endomorphisme du module $L(X)$ qui coïncide dans $L^n(X)$ avec la multiplication par l’entier $n \geqslant 1$ . La formule $[L^n(X), L^m(X)] \subset L^{n+m}(X)$ montre que $\pi_1$ est une dérivation (A, III, p. 119, Exemple 6). La dérivation $\pi_1 - \pi_0$ de $L(X)$ s’annule dans $X$ , et comme $X$ engendre $L(X)$ , on a $\pi_0 = \pi_1$ , d’où b).

Corollaire

Supposons que $K$ soit une $\mathbf{Q}$ -algèbre. Soit $P$ l’application linéaire de $A^+(X)$ dans lui-même telle que*

P(x_1 \ldots x_n) = \frac{1}{n} (\mathrm{ad}\, x_1 \circ \cdots \circ \mathrm{ad}\, x_{n-1})(x_n)

*pour

n \geqslant 1

, et

x_1, \ldots, x_n

dans

X

. Alors

P

est un projecteur de

A^+(X)

sur

L(X)

L’image de $P$ est contenue dans $L(X)$ . De plus, pour tout $n \geqslant 1$ et tout $u$ dans $L^n(X)$ , on a $P(u) = \frac{1}{n} \pi(u)$ , d’où $P(u) = u$ d’après la prop. 1. Comme $L(X) = \sum_{n \geqslant 1} L^n(X)$ , on voit que la restriction de $P$ à $L(X)$ est l’identité.

Remarque

Supposons que K soit un corps de caractéristique zéro et soit Q le projecteur de $A(X) = U(L(X))$ sur $L(X)$ associé à la graduation canonique de $U(L(X))$ , cf. , n° 5. Pour $\alpha \in \mathbf{N}^{(X)}$ , on a $Q(A^\alpha(X)) \subset L^\alpha(X)$ . En effet, il suffit de vérifier que l’image et le noyau de Q sont des sous-modules gradués de $A(X)$ pour la graduation de type $\mathbf{N}^{(X)}$ . C’est évident pour l’image, qui est égale à $L(X)$ . D’autre part, soit $n$ un entier $\geqslant 1$ . Le sous-espace vectoriel de $A(X)$ engendré par les $y^n$ , où $y \in L(X)$ , est égal au sous-espace vectoriel de $A(X)$ engendré par les $\sum_{\sigma \in S_n} y_{\sigma(1)} y_{\sigma(2)} \cdots y_{\sigma(n)}$ , où $y_1, y_2, \ldots, y_n$ sont des éléments homogènes de $L(X)$ ; ce sous-espace est donc un sous-module gradué de $A(X)$

(On notera que, si Card(X) $\geqslant 2$ , les projecteurs P et Q ne coïncident pas dans $A^+(X)$ . En effet, soient $x, y$ dans X, tels que $x \neq y$ , et posons

z = x[x, y] + [x, y]x = x^2y - yx^2.

On a $Q(z) = 0$ et $P(z) = \frac{1}{3}[x, [x, y]] \neq 0$ , cf. § 2, n° 10, Exemple et n° 11, th. 1.)

3. Dimension des composantes homogènes de $L(X)$

Soient X un ensemble, $\alpha$ un élément de $\mathbf{N}^{(X)}$ , et d un entier $> 0$ . On écrit $d|\alpha$ s’il existe un $\beta \in \mathbf{N}^{(X)}$ tel que $\alpha = d\beta$ . L’élément $\beta$ , qui est unique, se note alors $\alpha/d$ .

Lemme 1

Soient n un entier $> 0$ , $T_1, \ldots, T_n$ des indéterminées, et $u_1, \ldots, u_n$ dans $\mathbf{Z}$ . Soit $(c(\alpha))_{\alpha \in \mathbf{N}^n - \{0\}}$ une famille d’éléments de $\mathbf{Z}$ telle que

1 - \sum_{i=1}^n u_i T_i = \prod_{\alpha \neq 0} (1 - T^\alpha)^{c(\alpha)}. \tag{7}

Pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n - \{0\}$ , on a

c(\alpha) = \frac{1}{|\alpha|} \sum_{d|\alpha} \mu(d) \frac{(|\alpha|/d)!}{(\alpha/d)!} u^{\alpha/d} \tag{8}

où $\mu$ est la fonction de Möbius (App.).

La formule (7) est équivalente, en prenant le logarithme des deux membres (A, IV, § 6, n° 9, n° 11e édition) à:

\log \left( 1 - \sum_{i=1}^n u_i T_i \right) = \sum_{\alpha \neq 0} c(\alpha) \log(1 - T^\alpha). \tag{9}

-\log \left( 1 - \sum_{i=1}^n u_i T_i \right) = \sum_{j \geqslant 1} \frac{1}{j} \left( \sum_{i=1}^n u_i T_i \right)^j \\ = \sum_{j \geqslant 1} \frac{1}{j} \sum_{|\beta|=j} \frac{|\beta|!}{\beta!} u^\beta T^\beta \\ = \sum_{|\beta|>0} \frac{1}{|\beta|} \frac{|\beta|!}{\beta!} u^\beta T^\beta. \tag{10}

D’autre part

(11)

-\sum_{\alpha \neq 0} c(\alpha) \log(1 - T^\alpha) = \sum_{|\alpha| > 0, k \geq 1} \frac{1}{k} c(\alpha) T^{k\alpha} = \sum_{|\beta| > 0, k|\beta} \frac{1}{k} c\left(\frac{\beta}{k}\right) T^\beta.

Donc (7) équivaut à

(12)

\sum_{k|\beta} \left| \frac{\beta}{k} \right| c\left( \frac{\beta}{k} \right) = \frac{|\beta|!}{\beta!} u^\beta \quad \text{pour tout } \beta \in \mathbf{N}^n - \{0\}.

Soit $\Lambda$ l’ensemble des $(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) \in \mathbf{N}^n - \{0\}$ tels que le p.g.c.d. de $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ soit égal à 1. Tout élément de $\mathbf{N}^n - \{0\}$ s’écrit de manière unique sous la forme $m\lambda$ , où $m$ est un entier $\geq 1$ et où $\lambda \in \Lambda$ . La condition (12) équivaut à

(13)

\sum_{k|m} \left| \frac{m\lambda}{k} \right| c\left( \frac{m\lambda}{k} \right) = \frac{(m|\lambda|)!}{(m\lambda)!} u^{m\lambda} \quad \text{pour tout } \lambda \in \Lambda \text{ et tout } m \geq 1.

D’après la formule d’inversion de Möbius (App. ), la condition (13) équivaut à

(14)

|m\lambda| c(m\lambda) = \sum_{d|m} \mu(d) \frac{\left| \frac{m\lambda}{d} \right|!}{\left( \frac{m\lambda}{d} \right)!} u^{\frac{m\lambda}{d}}

pour tout $\lambda \in \Lambda$ et tout $m \geq 1$ .

C.Q.F.D.

Théorème 2

Soient X un ensemble fini et n = Card(X).* a) *Pour tout entier r $\geq 1$ , le K-module L^r(X) est libre de rang

(15)

c(r) = \frac{1}{r} \sum_{d|r} \mu(d) n^{r/d},

où $\mu$ est la fonction de Möbius. b) Pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^X - \{0\}$ , le K-module L^\alpha(X) (§ 2, n° 6) est libre de rang

(16)

c(\alpha) = \frac{1}{|\alpha|} \sum_{d|\alpha} \mu(d) \frac{(|\alpha|/d)!}{(\alpha/d)!}.

Nous savons déjà que les modules L^r(X) pour $r \in \mathbf{N}$ , et L^\alpha(X) pour $\alpha \in \mathbf{N}^X$ , sont libres (§ 2, n° 11, cor. du th. 1). Considérons la multigraduation $(A^\alpha(X))_{\alpha \in \mathbf{N}^X}$ de A(X) définie par l’homomorphisme canonique $\varphi$ de Mo(X) dans $\mathbf{N}^X$ (A, III, p. 31, Exemple 3) ; on a $A^\alpha(X) \cap L(X) = L^\alpha(X)$ d’après la Remarque 3 du n° 1. Pour $\alpha \in \mathbf{N}^X$ , le K-module A^\alpha(X) admet pour base l’ensemble des mots dans lesquels chaque lettre x de X apparaît $\alpha(x)$ fois. Soit $d(\alpha)$ le nombre de ces mots, c’est-à-dire le rang de $A^\alpha(X)$ ; nous allons calculer de deux manières différentes la série formelle $P((T_x)_{x \in X}) \in \mathbf{Z}[[(T_x)_{x \in X}]]$ définie par

P(T) = \sum_{\alpha \in \mathbf{N}^X} d(\alpha) T^\alpha.

1) On a

P(T) = \sum_{m \in Mo(X)} T^{\varphi(m)} = \sum_{r=0}^\infty \sum_{x_1, \ldots, x_r} T_{x_1} \ldots T_{x_r} = \sum_{r=0}^\infty \left( \sum_{x \in X} T_x \right)^r

d’où

P(T) = \left( 1 - \sum_{x \in X} T_x \right)^{-1}.

2) Pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^X - \{0\}$ , soit $(\ell_{\alpha,j})_{1 \leq j \leq c(\alpha)}$ une base de $L^\alpha(X)$ et munissons l’ensemble $I$ des couples $(\alpha, j)$ tels que $\alpha \in \mathbf{N}^X - \{0\}$ et $1 \leq j \leq c(\alpha)$ d’une relation d’ordre total. D’après le th. 1 du n° 1 et le th. de Poincaré–Birkhoff–Witt (chap. I, § 2, n° 7, cor. 3 du th. 1), les éléments

y_m = \prod_{(\alpha, j) \in I} (\ell_{\alpha,j})^{m(\alpha,j)},

l’indice $m$ parcourant $\mathbf{N}^{(I)}$ , forment une base de $A(X)$ . Chaque $y_m$ est de multidegré $\sum_{(\alpha, j) \in I} m(\alpha, j) \alpha$ . Notons $u(m)$ ce multidegré. Il en résulte que

P(T) = \sum_{m \in \mathbf{N}^{(I)}} T^{u(m)} = \sum_{m \in \mathbf{N}^{(I)}} \prod_{(\alpha, j) \in I} T^{m(\alpha,j)\alpha}

= \prod_{(\alpha, j) \in I} \sum_{r=0}^\infty T^{r\alpha} = \prod_{(\alpha, j) \in I} (1 - T^\alpha)^{-1},

d’où enfin

P(T) = \prod_{\alpha \in \mathbf{N}^X - \{0\}} (1 - T^\alpha)^{-c(\alpha)}.

En comparant (18) et (19), on obtient

1 - \sum_{x \in X} T_x = \prod_{\alpha \in \mathbf{N}^X - \{0\}} (1 - T^\alpha)^{c(\alpha)}.

Le lemme 1 donne alors b).

Substituant maintenant une même indéterminée $U$ aux $T_x$ pour $x \in X$ , dans la formule (20), on obtient

1 - nU = \prod_{\alpha \in \mathbf{N}^X - \{0\}} (1 - U^{|c(\alpha)|})^{c(\alpha)} = \prod_{r > 0} (1 - U^r)^{c(r)}.

En appliquant de nouveau le lemme 1, on en déduit a).

Exemple

On a:

c(1) = n, \quad c(2) = \frac{1}{2}(n^2 - n), \quad c(3) = \frac{1}{3}(n^3 - n), c(4) = \frac{1}{4}(n^4 - n^2), \quad c(5) = \frac{1}{5}(n^5 - n), \quad c(6) = \frac{1}{6}(n^6 - n^3 - n^2 + n).

Remarque

Soit X un ensemble et soit $\alpha \in \mathbf{N}^{(X)}$ ; le rang du K-module libre $L^\alpha(X)$ est encore donné par la formule (16). Cela résulte aussitôt du th. 2b) et de la prop. 4 du § 2, no 6.

Exercices

La lettre X désigne un ensemble.

See the exercises for § 3.