§ 1. Bigèbre enveloppante d'une algèbre de Lie

§ 1. Bigèbre enveloppante d’une algèbre de Lie

Dans tout ce paragraphe, on note $g$ une algèbre de Lie sur $\mathbf{K}$ , $U(g)$ ou simplement $U$ son algèbre enveloppante (chap. I, § 2, n° 1), $\sigma$ l’application canonique de $g$ dans $U(g)$ (loc. cit.) et $(U_n)_{n \geq 0}$ la filtration canonique de $U$ (loc. cit., n° 6).

1. Éléments primitifs d’une cogèbre

Dans tout ce n°, on considère une cogèbre $E$ (A, III, p. 138), de coproduit

c : E \to E \otimes E

possédant une coïunité

\varepsilon

(loc. cit., p. 146). Rappelons que

\varepsilon

est une forme linéaire sur le

\mathbf{K}

-module

E

telle que (après identification canonique de

E \otimes \mathbf{K}

\mathbf{K} \otimes E

avec

E

) l’on ait:

\mathrm{Id}_E = (\varepsilon \otimes \mathrm{Id}_E) \circ c = (\mathrm{Id}_E \otimes \varepsilon) \circ c.

On note

E^+

le noyau de

\varepsilon

et on se donne un élément

u

E

tel que

c(u) = u \otimes u \quad \text{et} \quad \varepsilon(u) = 1.

\mathbf{K}

-module

E

est somme directe de

E^+

et du sous-module

\mathbf{K}.u

, qui est libre de base

u

; on note

\pi_u : E \to E^+

\eta_u : E \to \mathbf{K}.u

les projecteurs associés à cette décomposition. On a (1)

\pi_u(x) = x - \varepsilon(x).u, \qquad \eta_u(x) = \varepsilon(x).u.

Définition 1

On dit qu’un élément $x$ de $E$ est $u$ -primitif si l’on a* (2)

c(x) = x \otimes u + u \otimes x.

Les éléments

u

-primitifs de

E

forment un sous-module de

E

, noté

P_u(E)

¹ Les résultats des chapitres II et III dépendent des six premiers Livres (E, A, TG, FVR, EVT, INT) de LIE I, de AC et de VAR, R ; le n° 9 du § 6 du chap. III dépend en outre de TS I.

Proposition 1

Tout élément u-primitif de E appartient à E^+.

En effet, (2) entraîne $x = \varepsilon(x).u + \varepsilon(u).x = \varepsilon(x).u + x$ , d’où $\varepsilon(x) = 0$ .

Remarque

Si $x \in E$ et si $c(x) = x' \otimes u + u \otimes x''$ , où $x', x''$ sont dans $E^+$ , alors $x = \varepsilon(x').u + \varepsilon(u).x'' = x''$ ; de même $x = x'$ , et $x$ est u-primitif.

Pour tout $x \in E^+$ , on pose

c_u^+(x) = c(x) - x \otimes u - u \otimes x.

Proposition 2

On a

(\pi_u \otimes \pi_u) \circ c = c_u^+ \circ \pi_u.

En effet, soit $x$ dans $E$ ; on a

\begin{align*} (\pi_u \otimes \pi_u)(c(x)) &= ((1 - \eta_u) \otimes (1 - \eta_u))(c(x)) \\ &= c(x) - (1 \otimes \eta_u)(c(x)) - (\eta_u \otimes 1)(c(x)) + (\eta_u \otimes \eta_u)(c(x)). \end{align*}

Comme $\varepsilon$ est coïunité de $E$ , on a

(1 \otimes \eta_u)(c(x)) = x \otimes u, \quad (\eta_u \otimes 1)(c(x)) = u \otimes x

d’où

(\eta_u \otimes \eta_u)((c(x))) = (\eta_u \otimes 1)((1 \otimes \eta_u)(c(x))) = \varepsilon(x).u \otimes u;

de tout ceci, on tire

(\pi_u \otimes \pi_u)(c(x)) = c(x) - x \otimes u - u \otimes x + \varepsilon(x).u \otimes u.

D’autre part, on a

c_u^+(\pi_u(x)) = c(x) - x \otimes u - u \otimes x + \varepsilon(x).u \otimes u,

d’où la formule (4).

Comme $E^+$ est un sous-module facteur direct de $E$ , on peut identifier $E^+ \otimes E^+$ à un sous-module facteur direct de $E \otimes E$ . Avec cette identification, $\pi_u \otimes \pi_u$ est un projecteur de $E \otimes E$ sur $E^+ \otimes E^+$ . D’après la formule (4), $c_u^+$ applique $E^+$ dans $E^+ \otimes E^+$ et $\pi_u$ est un morphisme de la cogèbre $(E, c)$ dans la cogèbre $(E^+, c_u^+)$ .

Proposition 3

Si la cogèbre $(E, c)$ est coassociative (resp. cocommutative) (A, III, p. 143–144), il en est de même de la cogèbre $(E^+, c_u^+)$ .

Cela résulte du lemme suivant:

Lemme 1

Soit $\pi : E \to E'$ un morphisme surjectif de cogèbres. Si $E$ est coassociative (resp. cocommutative), il en est de même de $E'$ .

Soit $B$ une $K$ -algèbre associative; l’application $f \mapsto f \circ \pi$ est un homomorphisme injectif d’algèbres de $\mathrm{Hom}_K(E', B)$ dans $\mathrm{Hom}_K(E, B)$ . Il suffit alors d’appliquer la prop. 1 (resp. la prop. 2) de A, III, p. 143 (resp. p. 144).

2. Éléments primitifs d’une bigèbre

Soient E une bigèbre (A, III, p. 148), c son coproduit, ε sa coïunité, 1 son élément unité. Comme ε(1) = 1 et c(1) = 1 ⊗ 1, on peut appliquer les résultats du n° précédent avec u = 1. On appelle simplement primitifs (cf. A, III, p. 164) les éléments 1-primitifs de E (n° 1, déf. 1), c’est-à-dire les éléments x de E tels que

c(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x.

On écrira simplement π, η, P(E), c⁺ au lieu de π₁, η₁, P₁(E), c₁⁺.

Proposition 4

L’ensemble P(E) des éléments primitifs de E est une sous-algèbre de Lie de E.

Si x, y sont dans P(E), on a

\begin{align*} c(xy) &= c(x)c(y) = (x \otimes 1 + 1 \otimes x)(y \otimes 1 + 1 \otimes y) \\ &= xy \otimes 1 + 1 \otimes xy + x \otimes y + y \otimes x, \end{align*}

d’où

c([x, y]) = [x, y] \otimes 1 + 1 \otimes [x, y].

Proposition 5

Soit f : E → E' un morphisme de bigèbres. Si x est un élément primitif de E, alors f(x) est un élément primitif de E', et la restriction de f à P(E) est un homomorphisme d’algèbres de Lie P(f) : P(E) → P(E').

Soit c (resp. c') le coproduit de E (resp. E'). Puisque f est un morphisme de cogèbres, on a c' ∘ f = (f ⊗ f) ∘ c, d’où

c'(f(x)) = (f \otimes f)(c(x)) = (f \otimes f)(x \otimes 1 + 1 \otimes x) = f(x) \otimes 1 + 1 \otimes f(x),

pour x primitif. Donc f applique P(E) dans P(E') et l’on a f([x, y]) = [f(x), f(y)] puisque f est un homomorphisme d’algèbres.

Remarque 1

Soit p un nombre premier tel que p . 1 = 0 dans K. La formule du binôme et les congruences $\binom{p}{i} \equiv 0 \pmod{p}$ pour $1 \leq i \leq p - 1$ entraînent que P(E) est stable par l’application $x \mapsto x^p$ .

Remarque 2

Par définition, le diagramme

0 \to P(E) \to E^+ \xrightarrow{c^+} E^+ \otimes E^+

est une suite exacte. Si K' est un anneau commutatif et ρ : K → K' un homomorphisme d’anneaux, $\rho^*(E) = E \otimes_K K'$ est une K'-bigèbre et l’inclusion P(E) → E définit un homomorphisme de K'-algèbres de Lie

\alpha : P(E) \otimes_K K' \to P(E \otimes_K K').

0 \to P(E) \otimes_K K' \to E^+ \otimes_K K' \xrightarrow{\varepsilon^+ \otimes_K \mathrm{Id}_{K'}} (E^+ \otimes_K K') \otimes_{K'} (E^+ \otimes_K K')

est une suite exacte, ce qui entraîne que $\alpha$ est un isomorphisme.

3. Bigèbres filtrées

Définition 2

Soit E une bigèbre de coproduit c. On appelle filtration compatible avec la structure de bigèbre de E une suite croissante $(E_n)_{n \geq 0}$ de sous-modules de E telle que\footnote{Si A et B sont deux sous-modules de E, on désigne par $\operatorname{Im}(A \otimes B)$ l’image de l’application canonique $A \otimes B \to E \otimes E$ .}

E_0 = K . 1, \quad E = \bigcup_{n \geq 0} E_n

E_m . E_n \subset E_{m+n} \quad \text{pour } m \geq 0, n \geq 0

(6)

c(E_n) \subset \sum_{i+j=n} \operatorname{Im}(E_i \otimes E_j) \quad \text{pour } n \geq 0.

On appelle bigèbre filtrée une bigèbre munie d’une filtration compatible avec sa structure de bigèbre.

Exemple

Soient E une bigèbre graduée (A, III, p. 148, déf. 3), $(E^n)_{n \geq 0}$ sa graduation. Posons $E_n = \sum_{i=0}^n E^i$ . La suite $(E_n)$ est une filtration compatible avec la structure de bigèbre de E.

Proposition 6

Soient E une bigèbre filtrée, $(E_n)_{n \geq 0}$ sa filtration. Pour tout entier $n \geq 0$ , soit $E_n^+ = E_n \cap E^+$ . Alors $E_0^+ = \{0\}$ et (7)

c^+(E_n^+) \subset \sum_{i=1}^{n-1} \operatorname{Im}(E_i^+ \otimes E_{n-i}^+) \quad \text{pour } n \geq 0.

Comme $E_0 = K . 1$ , on a $E_0^+ = 0$ . Si $x \in E_n$ , on a $\pi(x) = x - \varepsilon(x) . 1$ (formule (1)), d’où $\pi(x) \in E_n^+$ et $\pi(E_n) \subset E_n^+$ . Il en résulte que $\pi \otimes \pi$ applique $\operatorname{Im}(E_i \otimes E_j)$ dans $\operatorname{Im}(E_i^+ \otimes E_j^+)$ pour $i \geq 0, j \geq 0$ . Comme $c^+ = (\pi \otimes \pi) \circ c$ dans $E^+$ (n° 1, prop. 2), on a d’après (6)

c^+(E_n^+) \subset \sum_{i=0}^n \operatorname{Im}(E_i^+ \otimes E_{n-i}^+) = \sum_{i=1}^{n-1} \operatorname{Im}(E_i^+ \otimes E_{n-i}^+).

Corollaire

Les éléments de $E_1^+$ sont primitifs. Si $x \in E_1^+$ , on a $c^+(x) = 0$ d’après (7), d’où (5).

4. Bigèbre enveloppante d’une algèbre de Lie

Rappelons que g désigne une algèbre de Lie, et U son algèbre enveloppante, munie de sa filtration canonique $(U_n)_{n \geq 0}$ .

1 Si A et B sont deux sous-modules de E, on désigne par $\operatorname{Im}(A \otimes B)$ l’image de l’application canonique $A \otimes B \to E \otimes E$ .

Proposition 7

Il existe sur l’algèbre U un coproduit c et un seul faisant de U une bigèbre telle que les éléments de $\sigma(g)$ soient primitifs. La bigèbre $(U, c)$ est cocommutative; sa coïunité est la forme linéaire $\varepsilon$ telle que le terme constant (chap. I, , n° 1) de tout élément $x$ de U soit $\varepsilon(x) . 1$ . La filtration canonique $(U_n)_{n \geq 0}$ de U est compatible avec cette structure de bigèbre

a) Soit $x \in g$ ; posons $c_0(x) = \sigma(x) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma(x) \in U \otimes U$ . Si $x, y$ sont dans $g$ , on a $c_0(x)c_0(y) = (\sigma(x)\sigma(y)) \otimes 1 + 1 \otimes (\sigma(x)\sigma(y)) + \sigma(x) \otimes \sigma(y) + \sigma(y) \otimes \sigma(x)$ , d’où

[c_0(x), c_0(y)] = c_0([x, y]).

D’après la propriété universelle de U (chap. I, § 2, n° 1, prop. 1), il existe un homomorphisme d’algèbres unifères, et un seul

c : U \to U \otimes U

tel que $c(\sigma(x)) = \sigma(x) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma(x)$ pour $x \in g$ . Cela démontre l’assertion d’unicité de la prop. 7.

b) Montrons que c est coassociatif. En effet, les applications linéaires $c'$ et $c''$ de U dans $U \otimes U \otimes U$ définies par

c' = (c \otimes \mathrm{Id}_U) \circ c \quad \text{et} \quad c'' = (\mathrm{Id}_U \otimes c) \circ c

sont des homomorphismes d’algèbres unifères qui coïncident dans $\sigma(g)$ car, pour $a \in \sigma(g)$ , on a

c'(a) = a \otimes 1 \otimes 1 + 1 \otimes a \otimes 1 + 1 \otimes 1 \otimes a = c''(a),

d’où le résultat.

c) Montrons que c est cocommutatif. Soit $\tau$ l’automorphisme de $U \otimes U$ tel que $\tau(a \otimes b) = b \otimes a$ pour $a, b$ dans U. Les applications $\tau \circ c$ et $c$ de U dans $U \otimes U$ sont des homomorphismes d’algèbres unifères qui coïncident dans $\sigma(g)$ , d’où le résultat.

d) Montrons que $\varepsilon$ est une coïunité pour c. En effet, les applications $(\mathrm{Id}_U \otimes \varepsilon) \circ c$ et $(\varepsilon \otimes \mathrm{Id}_U) \circ c$ de U dans U sont des homomorphismes d’algèbres unifères qui coïncident avec $\mathrm{Id}_U$ dans $\sigma(g)$ .

e) On sait que $U_0 = K.1$ , $U_n \subset U_{n+1}$ , $U = \bigcup_{n \geq 0} U_n$ et $U_n \cdot U_m \subset U_{n+m}$ (chap. I, § 2, n° 6). Soient $a_1, \ldots, a_n$ dans $\sigma(g)$ . On a

c(a_1 \ldots a_n) = \prod_{i=1}^n c(a_i) = \prod_{i=1}^n (a_i \otimes 1 + 1 \otimes a_i)

= \sum_{i=0}^n \sum_{\alpha \in I(i)} (a_{\alpha(1)} \ldots a_{\alpha(i)}) \otimes (a_{\alpha(i+1)} \ldots a_{\alpha(n)}),

où $I(i)$ désigne l’ensemble des permutations de $\{1, n\}$ croissantes dans chacun des intervalles $\{1, i\}$ et $\{i+1, n\}$ . Comme $U_n$ est le K-module engendré par les produits d’au plus n éléments de $\sigma(g)$ , la formule (8) entraîne que la filtration $(U_n)$ est compatible avec la structure de bigèbre de $(U, c)$ .

Définition 3

La bigèbre* $(U, c)$ est appelée bigèbre enveloppante de l’algèbre de Lie g.

Proposition 8

Soit* E une bigèbre de coproduit noté $c_E$ et soit h un homomorphisme d’algèbres de Lie de g dans P(E) (n° 2, prop. 4). L’homomorphisme d’algèbres unifères $f : U \to E$ tel que $f(\sigma(x)) = h(x)$ pour tout $x \in g$ est un morphisme de bigèbres.

Montrons que $(f \otimes f) \circ c = c_E \circ f$ . Ce sont là deux homomorphismes d’algèbres unifères de U dans $E \otimes E$ , et pour $a \in \sigma(g)$ , on a

(f \otimes f)(c(a)) = f(a) \otimes 1 + 1 \otimes f(a) = c_E(f(a))

puisque $f(a) \in P(E)$ . De même, si $\varepsilon_E$ est la coïunité de E, $\varepsilon_E \circ f$ est un homomorphisme d’algèbres unifères $U \to K$ nul dans $\sigma(g)$ (n° 1, prop. 1) et coïncide donc avec $\varepsilon$ .

Il résulte des propositions 5 et 8 que l’application $f \mapsto f \circ \sigma$ définit une correspondance biunivoque entre homomorphismes de bigèbres $U(g) \to E$ et homomorphismes d’algèbres de Lie $g \to P(E)$ .

Corollaire

Soient* $g_i$ ( $i = 1, 2$ ) une algèbre de Lie, $U(g_i)$ sa bigèbre enveloppante, $\sigma_i : g_i \to U(g_i)$ l’application canonique. Pour tout homomorphisme d’algèbres de Lie $h : g_1 \to g_2$ , l’homomorphisme d’algèbres unifères $U(h) : U(g_1) \to U(g_2)$ tel que $U(h) \circ \sigma_1 = \sigma_2 \circ h$ (chap. I, § 2, n° 1) est un morphisme de bigèbres.

5. Structure de la cogèbre $U(g)$ en caractéristique 0.

Dans ce n°, on suppose que K est un corps de caractéristique 0.

Soient S(g) l’algèbre symétrique de l’espace vectoriel g, $c_S$ son coproduit (A, III, p. 139, Exemple 6), $\eta$ l’isomorphisme canonique de l’espace vectoriel S(g) sur l’espace vectoriel U (chap. I, § 2, n° 7). Rappelons que si $x_1, \ldots, x_n$ sont dans g, on a

\eta(x_1 \ldots x_n) = \frac{1}{n!} \sum_{\tau \in S_n} \sigma(x_{\tau(1)}) \ldots \sigma(x_{\tau(n)}).

En particulier, pour $x \in g$ et $n \geqslant 0$ , on a

\eta(x^n) = \sigma(x)^n.

Remarquons, d’après A, III, p. 68, Remarque 3, que $\eta$ est l’unique application linéaire de S(g) dans U satisfaisant à la condition (10).

Proposition 9

Pour tout entier $n \geqslant 0$ , soit $U^n$ le sous-espace vectoriel de $U$ engendré par les $\sigma(x)^n$ pour $x \in g$ .

a) La suite $(U^n)_{n \geqslant 0}$ est une graduation de l’espace vectoriel $U$ compatible avec sa structure de cogèbre. Munissons $U$ de la graduation $(U^n)$ . b) L’application canonique $\eta : S(g) \to U$ est un isomorphisme de cogèbres graduées. Soient $x \in g$ et $n \in \mathbf{N}$ . On a

c_S(x^n) = c_S(x)^n = (x \otimes 1 + 1 \otimes x)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^i \otimes x^{n-i}

puisque

c_S

est un homomorphisme d’algèbres. De même, d’après (10),

c(\eta(x^n)) = c(\sigma(x)^n) = c(\sigma(x))^n = (\sigma(x) \otimes 1 + 1 \otimes \sigma(x))^n

= \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \sigma(x)^i \otimes \sigma(x)^{n-i} = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \eta(x^i) \otimes \eta(x^{n-i}),

d’où

(\eta \otimes \eta)(c_S(x^n)) = c(\eta(x^n)).

Comme les

x^n

, pour

x \in g

n \in \mathbf{N}

, engendrent l’espace vectoriel

S(g)

, on a

(\eta \otimes \eta) \circ c_S = c \circ \eta

, et

\eta

est un isomorphisme de cogèbres. Par ailleurs, la formule (10) montre que

\eta(S^n(g)) = U^n

, ce qui achève de démontrer a) et b) compte tenu de ce que la graduation de

S(g)

est compatible avec sa structure de cogèbre.

La graduation $(U^n)_{n \geqslant 0}$ de $U$ est appelée graduation canonique.

Corollaire

L’application canonique $\sigma$ définit un isomorphisme de $g$ sur l’algèbre de Lie $P(U)$ des éléments primitifs de $U$ . Comme $c^+$ est un homomorphisme gradué de degré 0, on a

P(U) = \sum_{n \geqslant 1} (P(U) \cap U^n).

Il suffit de prouver que si

n > 1

et si

a \in U^n

est primitif, alors

a = 0

. Or

a

s’écrit

\sum_i \lambda_i a_i^n

, où

\lambda_i \in K

a_i \in \sigma(g)

. D’après (12), le terme de bidegré

(1, n-1)

c^+(a)

est

n \sum_i \lambda_i a_i \otimes a_i^{n-1}

. On a donc

\sum_i \lambda_i a_i \otimes a_i^{n-1} = 0

. Si

\mu : U \otimes U \to U

est l’application linéaire définie par la multiplication de

U

, on a donc

a = \sum_i \lambda_i a_i^n = \mu \left( \sum_i \lambda_i a_i \otimes a_i^{n-1} \right) = 0.

Remarque 1

On a $U_n = \sum_{i=0}^n U^i$ (chap. I, § 2, no 7, cor. 4 du th. 1).

Remarque 2

L’application $\eta$ est l’unique morphisme de cogèbres graduées de $S(g)$ dans $U$ tel que $\eta(1) = 1$ et $\eta(x) = \sigma(x)$ pour $x \in g$ . En effet, si $\eta'$ est un morphisme satisfaisant à ces conditions, prouvons par récurrence sur $n$ que $\eta'(x^n) = \eta(x^n)$ pour $x \in \mathfrak{g}$ et $n > 1$ . Comme $c_S^+(x^n) = \sum_{i=1}^{n-1} \binom{n}{i} x^i \otimes x^{n-i}$ d’après (3) et (11), on a $(\eta \otimes \eta)(c_S^+(x^n)) = (\eta' \otimes \eta')(c_S^+(x^n))$ par l’hypothèse de récurrence. Il s’ensuit que $c^+(\eta(x^n)) = c^+(\eta'(x^n))$ ; il en résulte que $\eta(x^n) - \eta'(x^n)$ est un élément primitif de degré $n$ , donc est nul (cor. de la prop. 9).

Remarque 3

Soit $\psi$ l’isomorphisme canonique de la bigèbre TS( $\mathfrak{g}$ ) sur la bigèbre S( $\mathfrak{g}$ ) (A, IV, § 5, cor. 1 de la prop. 12). L’application

\eta \circ \psi : \mathrm{TS}(\mathfrak{g}) \to \mathbf{U}

est dite canonique. C’est l’unique morphisme

\eta'

de cogèbres graduées de TS(

\mathfrak{g}

) dans

\mathbf{U}

tel que

\eta'(1) = 1

\eta'(x) = \sigma(x)

pour tout

x \in \mathfrak{g}

Remarque 4

Soit V un espace vectoriel. Les éléments primitifs de la bigèbre S(V) sont les éléments de degré 1. Cela résulte en effet du cor. de la prop. 9 appliqué à l’algèbre de Lie commutative V.

Soit $(e_i)_{i \in I}$ une base du K-espace vectoriel $\mathfrak{g}$ , où l’ensemble d’indices I est muni d’un ordre total. Pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^{(I)}$ , on pose

e_\alpha = \prod_{i \in I} \frac{\sigma(e_i)^{\alpha(i)}}{\alpha(i)!}.

Les

e_\alpha

, pour

|\alpha| \leq n

, forment une base du K-espace vectoriel

U_n

(chap. I, § 2, n° 7, cor. 3 du th. 1). On a

e_0 = 1, \quad e_{e_i} = \sigma(e_i) \text{ pour } i \in I.

Comme l’algèbre graduée associée à l’algèbre filtrée U est commutative (loc. cit., th. 1), on a, pour

\alpha, \beta

dans

\mathbf{N}^{(I)}

e_\alpha \cdot e_\beta \equiv ((\alpha, \beta)) \cdot e_{\alpha + \beta} \mod U_{|\alpha| + |\beta| - 1},

où

((\alpha, \beta)) = \prod_{i \in I} \frac{(\alpha(i) + \beta(i))!}{\alpha(i)! \beta(i)!}

D’autre part, on a aussitôt

\varepsilon(e_0) = 1, \quad \varepsilon(e_\alpha) = 0 \quad \text{pour } |\alpha| \geq 1.

Enfin, la formule (12) entraîne que, pour

\alpha \in \mathbf{N}^{(I)}

, on a

c(e_\alpha) = \sum_{\beta + \gamma = \alpha} e_\beta \otimes e_\gamma.

Cette formule permet de déterminer l’algèbre

U' = \mathrm{Hom}(U, K)

duale de la cogèbre U (A, III, p. 143). Soit en effet

K[[X_i]]_{i \in I}

l’algèbre des séries formelles par rapport à des indéterminées

(X_i)_{i \in I}

(cf. A, III, p. 28); si

\lambda \in U'

, notons

f_\lambda

la série formelle

f_\lambda = \sum_\alpha \langle \lambda, e_\alpha \rangle X^\alpha, \quad \text{avec } X^\alpha = \prod_{i \in I} X_i^{\alpha(i)},

l’indice de sommation

\alpha

parcourant

\mathbf{N}^{(I)}

Proposition 10

L’application* $\lambda \mapsto f_\lambda$ est un isomorphisme de l’algèbre $U'$ sur l’algèbre de séries formelles $K[[X_i]]_{i \in I}$ . Du fait que $(e_\alpha)$ est une base de $U$ , l’application $\lambda \mapsto f_\lambda$ est $K$ -linéaire et bijective. D’autre part, pour $\lambda, \mu$ dans $U'$ , on a

f_{\lambda \mu} = \sum_\alpha \langle \lambda \mu, e_\alpha \rangle X^\alpha = \sum_\alpha \langle \lambda \otimes \mu, c(e_\alpha) \rangle X^\alpha

= \sum_\alpha \langle \lambda \otimes \mu, \sum_{\beta + \gamma = \alpha} e_\beta \otimes e_\gamma \rangle X^\alpha \tag{d’après (16)}

= \sum_{\beta, \gamma} \langle \lambda, e_\beta \rangle \langle \mu, e_\gamma \rangle X^{\beta + \gamma} = f_\lambda f_\mu,

ce qui montre que

\lambda \mapsto f_\lambda

est un isomorphisme d’algèbres, et achève la démonstration.

6. Structure des bigèbres filtrées en caractéristique 0

Dans ce n°, on continue de supposer que $K$ est un corps de caractéristique 0. Si $E$ est une bigèbre, l’injection canonique $P(E) \to E$ se prolonge en un morphisme de bigèbres $f_E : U(P(E)) \to E$ (n° 4, prop. 8).

Théorème 1

Soit* $E$ une bigèbre cocommutative. a) Le morphisme de bigèbres $f_E : U(P(E)) \to E$ est injectif. b) S’il existe sur $E$ une filtration compatible avec sa structure de bigèbre (n° 3, déf. 2), le morphisme $f_E$ est un isomorphisme. (Dans le cas b), la bigèbre $E$ s’identifie donc à la bigèbre enveloppante de l’algèbre de Lie de ses éléments primitifs.) Soit $c_E$ (resp. $\varepsilon_E$ ) le coproduit (resp. la coïunité) de $E$ . Posons $g = P(E)$ ; soit $(e_i)_{i \in I}$ une base du $K$ -espace vectoriel $g$ , où l’ensemble d’indices $I$ est muni d’un ordre total, et soit $(e_\alpha)_{\alpha \in N^{(I)}}$ la base de $U(g)$ introduite au n° précédent. Posons $X_\alpha = f_E(e_\alpha)$ pour $\alpha \in N^{(I)}$ . D’après (15) et (16), on a:

\varepsilon_E(X_0) = 1, \quad \varepsilon_E(X_\alpha) = 0 \quad \text{pour } |\alpha| \geq 1, \tag{17}

c_E(X_\alpha) = \sum_{\beta + \gamma = \alpha} X_\beta \otimes X_\gamma \quad \text{pour } \alpha \in N^{(I)}, \tag{18}

puisque

f_E

est un morphisme de cogèbres. Montrons que

f_E

est injectif. Cela résulte du lemme suivant:

Lemme 2

Soit* $V$ un espace vectoriel, et soient $E$ une cogèbre, $f : S(V) \to E$ un morphisme de cogèbres. Si la restriction de $f$ à $S^0(V) + S^1(V)$ est injective, alors $f$ est injectif. Soit $n \geq 0$ ; posons $S_n = \sum_{i \leq n} S^i(V)$ , notons $c_S$ le coproduit de $S(V)$ , et montrons par récurrence sur $n$ que $f|_{S_n}$ est injectif. L’assertion étant triviale pour $n = 0$ et $n = 1$ , supposons $n \geq 2$ et soit $u \in S_n$ tel que $f(u) = 0$ . On a

0 = c_E(f(u)) = (f \otimes f)(c_S(u)) = f(u) \otimes 1 + 1 \otimes f(u) + (f \otimes f)(c_S^+(u)) = (f \otimes f)(c_S^+(u)).

Comme $c_S^+(u) \in S_{n-1} \otimes S_{n-1}$ , d’après (11) l’hypothèse de récurrence montre que $u$ est un élément primitif de $S(V)$ , donc est de degré 1 (n° 5, Remarque 4), donc nul, puisque $f | S^1(V)$ est injectif.

Il en résulte en particulier que la famille $(X_\alpha)$ est libre.

Montrons que $f_E$ est surjectif si $E$ possède une filtration compatible avec sa structure de bigèbre. Soit $(E_n)_{n \geq 0}$ une telle filtration, et posons $E_n^+ = E_n \cap \mathrm{Ker}(\varepsilon_E)$ . Démontrons par récurrence sur $n$ que $E_n^+$ est contenu dans l’image de $f_E$ . Comme $E = K.1 + \bigcup_{n \geq 0} E_n^+$ , cela entraînera la surjectivité de $f_E$ . L’assertion est triviale pour $n = 0$ , et résulte du cor. de la prop. 6 du n° 3 pour $n = 1$ ; supposons désormais $n \geq 2$ , et soit $x \in E_n^+$ . D’après la prop. 6 du n° 3, on a

c_E^+(x) \in \sum_{i=1}^{n-1} E_i^+ \otimes E_{n-i}^+

et il existe d’après l’hypothèse de récurrence des scalaires $\lambda_{\alpha,\beta}$ , pour $\alpha, \beta$ dans $\mathbf{N}^{(I)}$ , nuls sauf un nombre fini d’entre eux, tels que

(19)

c_E^+(x) = \sum_{\alpha, \beta \neq 0} \lambda_{\alpha,\beta} X_\alpha \otimes X_\beta.

D’après la formule (18), on a donc

(c_E^+ \otimes \mathrm{Id}_E)(c_E^+(x)) = \sum_{\alpha, \beta, \gamma \neq 0} \lambda_{\alpha+\beta, \gamma} X_\alpha \otimes X_\beta \otimes X_\gamma

(\mathrm{Id}_E \otimes c_E^+)(c_E^+(x)) = \sum_{\alpha, \beta, \gamma \neq 0} \lambda_{\alpha, \beta+\gamma} X_\alpha \otimes X_\beta \otimes X_\gamma.

D’après la prop. 3 du n° 1, et l’indépendance linéaire des $X_\alpha$ , on a donc

(20)

\lambda_{\alpha+\beta, \gamma} = \lambda_{\alpha, \beta+\gamma} \quad \text{pour } \alpha, \beta, \gamma \text{ dans } \mathbf{N}^{(I)} - \{0\}.

Par ailleurs, le coproduit $c_E$ est cocommutatif; le même raisonnement que ci-dessus entraîne

(21)

\lambda_{\alpha, \beta} = \lambda_{\beta, \alpha} \quad \text{pour } \alpha, \beta \text{ dans } \mathbf{N}^{(I)} - \{0\}.

Supposons qu’il existe une famille de scalaires $(\mu_\alpha)$ pour $|\alpha| \geq 2$ , telle que

(22)

\mu_{\alpha+\beta} = \lambda_{\alpha, \beta} \quad \text{pour } \alpha, \beta \text{ dans } \mathbf{N}^{(I)} - \{0\}.

On a alors

c_E^+(x) = \sum_{\alpha, \beta \neq 0} \mu_{\alpha+\beta} X_\alpha \otimes X_\beta = \sum_{|\gamma| \geq 2} \mu_\gamma c_E^+(X_\gamma),

d’après la formule (18), donc $y = x - \sum_{|\gamma| \geq 2} \mu_\gamma X_\gamma$ est primitif, donc appartient à $P(E) \subset \mathrm{Im}(f_E)$ . On a donc

x = y + \sum_{|\gamma| \geq 2} \mu_\gamma f_E(e_\gamma) \in \operatorname{Im}(f_E).

La démonstration sera donc achevée lorsque nous aurons démontré le lemme suivant:

Lemme 3

Si une famille de scalaires* $(\lambda_{\alpha,\beta})$ de support fini (pour $\alpha, \beta$ dans $\mathbf{N}^{(I)} - \{0\}$ ) satisfait aux relations (20) et (21), il existe une famille $(\mu_\alpha)_{|\alpha| \geq 2}$ de support fini telle que $\mu_{\alpha+\beta} = \lambda_{\alpha,\beta}$ pour $\alpha, \beta$ non nuls.

Il suffit de prouver que

(23)

\alpha + \beta = \gamma + \delta

entraîne

\lambda_{\alpha,\beta} = \lambda_{\gamma,\delta}

pour

\alpha, \beta, \gamma, \delta

non nuls. D’après le lemme de décomposition de Riesz (A, VI, § 1, n° 10, th. 1), il existe

\pi, \rho, \sigma

\tau

dans

\mathbf{N}^{(I)}

tels que

\alpha = \pi + \sigma, \quad \beta = \rho + \tau, \quad \gamma = \pi + \rho, \quad \delta = \sigma + \tau.

Supposons

\pi \neq 0

; comme on a

\sigma + \beta = \rho + \delta

, la relation (20) entraîne

\lambda_{\alpha,\beta} = \lambda_{\pi+\sigma,\beta} = \lambda_{\pi,\sigma+\beta} = \lambda_{\pi,\rho+\delta} = \lambda_{\pi+\rho,\delta} = \lambda_{\gamma,\delta}.

Si par contre on a

\pi = 0

, on a

\beta = \gamma + \tau

\delta = \alpha + \tau

, d’où

\lambda_{\alpha,\beta} = \lambda_{\alpha,\gamma+\tau} = \lambda_{\alpha+\tau,\gamma} = \lambda_{\delta,\gamma}

d’après (20), mais on a aussi

\lambda_{\delta,\gamma} = \lambda_{\gamma,\delta}

d’après (21), d’où

\lambda_{\alpha,\beta} = \lambda_{\gamma,\delta}

Exercices

See the exercises for § 1.