Exercice 1, § 5

On munit l’algèbre $K[F]$ de F de la filtration $(I^n)$ formée par les puissances de l’idéal d’augmentation I ($§ 4$, exerc. 6). a) Soit $\tilde{g}: K[F] \to \hat{A}(X)$ l’unique homomorphisme d’algèbres prolongeant $g: F \to \hat{A}(X)^*$. Montrer que $\tilde{g}$ applique $I^n$ dans l’idéal $\hat{A}_n(X)$ (cf. n° 1) et définit par passage au quotient un isomorphisme $\tilde{g}_n$ de $K[F]/I^n$ sur $\hat{A}(X)/\hat{A}_n(X)$. (Définir un homomorphisme inverse de $\tilde{g}_n$ au moyen de l’homomorphisme de $A(X)$ dans $K[F]$ qui applique $x$ sur $x - 1$ pour tout $x \in X$.) En déduire que $\hat{A}(X)$ est isomorphe au séparé complété de $K[F]$ pour la topologie définie par $(I^n)$. b) On suppose que $K = \mathbf{Z}$. Montrer que la filtration $(I^n)$ est séparée (utiliser la prop. 3 et l’exerc. 6 e) du $§ 4$) et que la filtration de F qu’elle définit (exerc. 6 a) du $§ 4$) coïncide avec la filtration $(C^nF)$. En déduire que $\tilde{g}: \mathbf{Z}[F] \to \hat{A}_{\mathbf{Z}}(X)$ est injective.