Bài tập 1, § 5

Cho đại số $K[F]$ của $F$ được trang bị lọc $(I^n)$ gồm các lũy thừa của iđêan augmentation $I$ (§ 4, Bài tập 6). (a) Cho $\tilde{g}: K[F] \to \hat{A}(X)$ là đồng cấu đại số duy nhất mở rộng $g: F \to \hat{A}(X)^*$. Chứng minh rằng $\tilde{g}$ ánh xạ $I^n$ vào iđêan $\hat{A}_n(X)$ (xem no. 1) và khi lấy thương xác định một đẳng cấu $\tilde{g}_n$ của $K[F]/I^n$ lên $\hat{A}(X)/\hat{A}_n(X)$. (Định nghĩa một đồng cấu nghịch đảo của $\tilde{g}_n$ bằng đồng cấu của $A(X)$ vào $K[F]$ ánh xạ $x$ thành $x - 1$ với mọi $x \in X$.) Suy ra rằng $\hat{A}(X)$ là đẳng cấu với phép hoàn thành Hausdorff của $K[F]$ theo tôpô được định nghĩa bởi $(I^n)$. (b) Giả sử rằng $K = \mathbf{Z}$. Chứng minh rằng lọc $(I^n)$ là tách được (sử dụng Mệnh đề 3 và Bài tập 6 (e) của § 4) và rằng lọc của $F$ được định nghĩa bởi nó (Bài tập 6 (a) của § 4) trùng với lọc $(C^nF)$. Suy ra rằng $\tilde{g}: \mathbf{Z}[F] \to \hat{A}_\mathbf{Z}(X)$ là đơn ánh.