Exercice 9, § 5

On prend pour $X$ un ensemble à deux éléments $\{x, y\}$. a) Montrer qu’il existe une suite $w_2, w_3, \ldots$ d’éléments de $\mathbf{F}$, avec $w_i \in \mathbf{C}^i\mathbf{F}$ pour tout $i$, et

pour tout $n \in \mathbf{Z}$ et tout $i \geqslant 1$. (Appliquer l’exerc. 8 d) à la suite des $x^{-n}(xy)^n$.) Montrer que $w_2 = y^{-1}(y^{-1}, x^{-1})y \equiv (x, y)^{-1} \mod. \mathbf{C}^3\mathbf{F}$. b) Soit $G$ un groupe nilpotent de classe $\leq c$, et soient $x, y$ dans $G$. Déduire de ce qui précède la formule suivante (« formule de Hall »): c) Soit $p$ un nombre premier. Montrer qu’il existe $u_i \in \mathbf{C}^i\mathbf{F}$ ($2 \leq i \leq p - 1$) et $w \in \mathbf{C}^p\mathbf{F}$ tels que (Utiliser $a$) en remarquant que $\binom{p}{i}$ est divisible par $p$ si $1 < i < p$.) Soit $\bar{w}$ l’image de $w$ dans $\mathrm{gr}_p(\mathbf{F}) = \mathbf{L}_\mathbf{Z}^p(X)$, et soit $\bar{w}_p$ l’image de $\bar{w}$ dans $\mathbf{L}_{\mathbf{F}_p}^p(X)$. Montrer que $\bar{w}_p = \Lambda_p(x, y)$, cf. chap. I, § 1, exerc. 19. (Utiliser le plongement $g$ de $\mathbf{F}$ dans $\hat{\mathbf{A}}(X)$ et comparer les termes de degré $p$ de $g((xy)^p)$ et de $g(x^p y^p u_2^p \cdots u_{p-1}^p w)$. Le premier est égal à $(x + y)^p$ et le second est congru mod. $p$ à $x^p + y^p + \bar{w}_p$. D’où le résultat.) Montrer qu’il existe $a \in \mathbf{C}^2\mathbf{F}$ et $w' \in \mathbf{C}^p\mathbf{F}$ tels que (Utiliser la formule ci-dessus donnant $(xy)^p$.) En déduire que, dans un groupe nilpotent de classe $p$, les puissances $p$-ièmes forment un sous-groupe. d) Montrer qu’il existe une suite $v_3, v_4, \ldots$, d’éléments de $\mathbf{F}$, avec $v_i \in \mathbf{C}^i\mathbf{F}$ pour tout $i$, et pour tout $n \in \mathbf{Z}$ et tout $i \geqslant 1$. (Appliquer l’exerc. 8 f) à la suite des $(x^n, y)$.) En déduire que, si $p$ est un nombre premier, il existe $t_i \in \mathbf{C}^i\mathbf{F}$ pour $3 \leq i \leq p$, et $z \in \mathbf{C}^{p+1}\mathbf{F}$ tels que Montrer que l’image $\bar{z}_p$ de $z$ dans $\mathbf{L}_{\mathbf{F}_p}^{p+1}(X)$ est $(\mathrm{ad}\, x)^p(y)$. (Même méthode que pour $c$.)