Bài tập 9, § 5

Cho $X$ là tập hợp có hai phần tử $\{x, y\}$.

(a) Chứng minh rằng tồn tại một dãy $w_2, w_3, \ldots$ các phần tử của $\mathbf{F}$ sao cho $w_i \in \mathrm{C}^i\mathbf{F}$ với mọi $i$ và

† Để biết thêm chi tiết về các dãy điển hình, xem M. Lazard, Annales E. N. S., 71 (1954), pp. 101–190, Chương II, §§ 1, 2.

với mọi $n \in \mathbf{Z}$ và mọi $i \geqslant 1$. (Áp dụng Bài tập 8 (d) cho dãy của $x^{-n}(xy)^n$.) Chứng minh rằng $w_2 = y^{-1}(y^{-1}, x^{-1})y \equiv (x, y)^{-1} \mod C^3F$. (b) Cho G là một nhóm lũy linh có lớp $\leq c$ và cho $x, y$ thuộc G. Suy ra từ điều trên công thức sau ("công thức Hall");

(c) Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại $u_i \in C^iF$ ($2 \leq i \leq p - 1$) và $w \in C^pF$ sao cho

(Sử dụng (a), chú ý rằng $\binom{p}{i}$ chia hết cho $p$ nếu $1 < i < p$.) Cho $\bar{w}$ là ảnh của $w$ trong $\mathrm{gr}_p(F) = L_p^p(X)$ và cho $\bar{w}_p$ là ảnh của $\bar{w}$ trong $L_{F_p}^p(X)$. Chứng minh rằng $\bar{w}_p = \Lambda_p(x, y)$, cf. Chương I, § 1, Bài tập 19. (Sử dụng mở rộng $g$ của F tới $\hat{\Lambda}(X)$ và so sánh các số hạng có bậc $p$ trong $g((xy)^p)$ và $g(x^p y^p u_2^p \ldots u_{p-1}^p w)$. Cái thứ nhất bằng $(x + y)^p$ và cái thứ hai đồng dư theo môđun $p$ với $x^p + y^p + \bar{w}_p$. Do đó có kết quả.) Chứng minh rằng tồn tại $a \in C^2F$ và $w' \in C^pF$ sao cho (Sử dụng công thức trên cho $(xy)^p$.) Suy ra rằng trong một nhóm lũy linh có lớp $p$ thì các lũy thừa bậc $p$ tạo thành một nhóm con. (d) Chứng minh rằng tồn tại một dãy $v_3, v_4, \ldots$ các phần tử của F, trong đó $v_i \in C^iF$ với mọi $i$ và với mọi $n \in \mathbf{N}$ và mọi $i \geq 1$. (Áp dụng Bài tập 8 (f) cho dãy của $(x^n, y)$.) Suy ra rằng, nếu $p$ là một số nguyên tố, thì tồn tại $t_i \in C^iF$ với $3 \leq i \leq p$ và $z \in C^{p+1}F$ sao cho Chứng minh rằng ảnh $\bar{z}_p$ của $z$ trong $L_{F_p}^{p+1}(X)$ là $(\mathrm{ad}\, x)^p(y)$. (Cùng phương pháp như trong (c).)