Exercice 6, § 5

Soit $P$ un ensemble de nombres premiers, soit $S_P$ l’ensemble des $P$-entiers (§ 4, exerc. 14) et soit $\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$. a) On suppose que, pour tout $s \in S_P$, l’application $k \mapsto sk$ est une bijection de $K$ sur lui-même ; cela équivaut à dire que $K$ peut être muni d’une structure de $\mathbf{Z}_P$-algèbre. Les notations étant celles de l’exerc. 5, montrer que, pour tout $s \in S_P$, l’application $a \mapsto a^s$ de $\Gamma$ dans lui-même est bijective, et qu’il en est de même dans chaque quotient $\Gamma/\Gamma_n$ pour $n \geqslant 1$. Si $t \in \mathbf{Z}_P$, et si $a \in \Gamma$ (resp. $a \in \Gamma/\Gamma_n$), on définit $a^t$ comme dans l’exerc. 16 du § 4 ; en écrivant $a$ sous la forme $1 + \alpha$, avec $\alpha \in \hat{A}_1(X)$, montrer que l’on a

(Remarquer que les coefficients $\binom{t}{n}$ appartiennent à $\mathbf{Z}_P$, cf. exerc. 4.) b) On suppose maintenant que $K = \mathbf{Z}_P$. Soit $c$ un entier $\geqslant 1$. On identifie le groupe $F^c = F/C^cF$ à un sous-groupe de $\Gamma/\Gamma_c$ grâce à l’homomorphisme déduit de $g$ par passage aux quotients (notation du th. 2). Le groupe $\Gamma/\Gamma_c$ est un groupe $P$-divisible, sans $P$-torsion, de classe $< c$. Soit $F_P^c$ le $P$-saturé de $F^c$ dans $\Gamma/\Gamma_c$ (§ 4, exerc. 14), et soit $i$ l’injection de $F^c$ dans $F_P^c$. Le couple $(i, F_P^c)$ est une $P$-enveloppe de $F^c$ (§ 4, exerc. 15). En déduire que tout groupe nilpotent possède une $P$-enveloppe (remarquer que tout groupe nilpotent de classe $< c$ est quotient d’un groupe $F^c$, pour $X$ convenable, et utiliser la partie $b$) de l’exerc. 15 du § 4). c) Si $n \leqslant c$, soit $F_{P,n}^c$ l’intersection de $F_P^c$ avec $\Gamma_n/\Gamma_c$; si $n \geqslant c$, posons $F_{P,n}^c = \{e\}$. Montrer que $F_{P,n}^c$ est le $P$-saturé de $C^nF^c$ dans $\Gamma/\Gamma_c$. La filtration $(F_{P,n}^c)$ est une filtration centrale entière de $F_P^c$; soit $\mathrm{gr}(F_P^c)$ le gradué associé à cette filtration. Montrer que, si $n < c$, l’image de $\mathrm{gr}_n(F_P^c)$ dans $\mathrm{gr}_n(\Gamma) = A^n_{\mathbf{Z}_P}(X)$ est $S_P^{-1}.L^n_{\mathbf{Z}_P}(X) = L^n_{\mathbf{Z}_P}(X)$. En déduire que l’algèbre de Lie $\mathrm{gr}(F_P^c)$ est engendrée par ses éléments de degré 1, donc que $F_{P,n}^c = C^n(F_P^c)$ pour tout $n$

EXERCICES

(§ 4, exerc. 1). Montrer que le groupe $F_P^c$ est engendré par les $x^{1/s}$ pour $x \in X, s \in S_P$ (remarquer que les images de ces éléments dans $\mathrm{gr}_1(F_P^c) \simeq \mathbf{Z}_P^{(X)}$ engendrent le groupe $\mathrm{gr}_1(F_P^c)$, et appliquer le cor. 3 de la prop. 8 de A, I, p. 70). d) Soit H un ensemble de Hall relatif à X ($§ 2, n^o 10$), et soit H(c) la partie de H formée des éléments de longueur < c. Pour $m \in H(c)$, notons $\varphi_c(m)$ l’image dans $F^c$ du commutateur basique $\varphi(m)$ défini par m (cf. n° 4, Remarque). Montrer que, pour tout $w \in F_P^c$, il existe un élément unique $\alpha$ de $\mathbf{Z}_P^{(H(c))}$ tel que l’on ait

(Utiliser la détermination de gr($F_P^c$) faite ci-dessus.)