Bài tập 6, § 5

Cho $P$ là một tập hợp các số nguyên tố, cho $S_P$ là tập hợp các số nguyên $P$ (§ 4, Bài tập 14) và cho $\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$.

(a) Giả sử rằng, với mọi $s \in S_P$, ánh xạ $k \mapsto sk$ là một song ánh của $K$ lên chính nó; điều này tương đương với việc nói rằng $K$ có thể được trang bị một cấu trúc $\mathbf{Z}_P$-đại số.

Với ký hiệu của Bài tập 5, hãy chứng minh rằng, với mọi $s \in S_P$, ánh xạ $a \mapsto a^s$ của $\Gamma$ vào chính nó là song ánh và điều tương tự cũng đúng cho mỗi nhóm thương $\Gamma/\Gamma_n$ với $n \geq 1$. Nếu $t \in \mathbf{Z}_P$ và $a \in \Gamma$ (tương ứng $a \in \Gamma/\Gamma_n$), $a^t$ được định nghĩa như trong Bài tập 16 của § 4; viết $a$ dưới dạng $1 + \alpha$, trong đó $\alpha \in \hat{A}_1(X)$, hãy chứng minh rằng

(Chú ý rằng các hệ số $\binom{t}{n}$ thuộc về $\mathbf{Z}_P$, xem Bài tập 4.)

(b) Bây giờ giả sử rằng $K = \mathbf{Z}_P$. Cho $c$ là một số nguyên $\geq 1$. Nhóm $F^c = F/C^cF$ được đồng nhất với một nhóm con của $\Gamma/\Gamma_c$ bằng đồng cấu dẫn xuất từ g bằng cách lấy các nhóm thương (ký hiệu của Định lý 2). Nhóm $\Gamma/\Gamma_c$ là một nhóm xoắn-$P$-tự do, chia được-$P$ thuộc lớp $<c$. Cho $F_P^c$ là bao bão hòa-$P$ của $F^c$ trong $\Gamma/\Gamma_c$ (§ 4, Bài tập 14) và cho i là đơn ánh của $F^c$ vào $F_P^c$. Cặp có thứ tự $(i, F_P^c)$ là một bao-$P$ của $F^c$ (§ 4, Bài tập 15). Suy ra rằng mọi nhóm lũy linh đều có một bao-$P$ (chú ý rằng mọi nhóm lũy linh thuộc lớp $<c$ là thương của một nhóm $F^c$ với $X$ thích hợp và sử dụng phần (b) của Bài tập 15 của § 4).

(c) Nếu $n \leq c$, gọi $F_{P,n}^c$ là giao của $F_P^c$ với $\Gamma_n/\Gamma_c$; nếu $n \geq c$, ta viết $F_{P,n}^c = \{e\}$. Chứng minh rằng $F_{P,n}^c$ là P-bão hòa của $C^n F^c$ trong $\Gamma/\Gamma_c$. Lọc $(F_{P,n}^c)$ là một lọc trung tâm nguyên của $F_P^c$; gọi $\mathrm{gr}(F_P^c)$ là môđun phân bậc liên kết với lọc này. Chứng minh rằng, nếu $n < c$, ảnh của $\mathrm{gr}_n(F_P^c)$ trong $\mathrm{gr}_n(\Gamma) = A_{\mathbf{Z}_p}(X)$ là $S_P^{-1}L_{\mathbf{Z}}(X) = L_{\mathbf{Z}_p}(X)$. Suy ra rằng đại số Lie $\mathrm{gr}(F_P^c)$ được sinh bởi các phần tử của nó có bậc 1 và do đó $F_{P,n}^c = C^n(F_P^c)$ với mọi $n$ (§ 4, Bài tập 1). Chứng minh rằng nhóm $F_P^c$ được sinh bởi các $x^{1/s}$ với $x \in X, s \in S_P$ (chú ý rằng các ảnh của các phần tử này trong $\mathrm{gr}_1(F_P^c) \simeq \mathbf{Z}_p^{(X)}$ sinh nhóm $\mathrm{gr}_1(F_P^c)$ và áp dụng Hệ quả 3 cho Mệnh đề 8 của Đại số, Chương I, § 6, no. 3).

(d) Cho H là một tập Hall đối với X (§ 2, no. 10) và gọi $H(c)$ là tập con của H gồm các phần tử có độ dài $<c$. Với $m \in H(c)$, gọi $\phi_c(m)$ là ảnh trong $F^c$ của giao hoán tử cơ bản $\phi(m)$ được xác định bởi m (xem no. 4, Nhận xét). Chứng minh rằng, với mọi $w \in F_P^c$, tồn tại một phần tử duy nhất $\alpha \in \mathbf{Z}_P^{(H(c))}$ sao cho

(Sử dụng sự xác định của $\mathrm{gr}(F_P^c)$ thu được ở trên.)