ánh xạ $(xG_\alpha^+, yG_\beta^+)$ lên $(x, y)G_{\alpha+\beta}^+$.

(ii) Cho $\phi$ là ánh xạ song cộng của $\mathrm{gr}(G) \times \mathrm{gr}(G)$ vào $\mathrm{gr}(G)$ mà hạn chế của nó lên $\mathrm{gr}_\alpha(G) \times \mathrm{gr}_\beta(G)$ là $\phi_{\alpha\beta}$ đối với mọi cặp có thứ tự $(\alpha, \beta)$. Ánh xạ $\phi$ trang bị cho $\mathrm{gr}(G)$ một cấu trúc đại số Lie trên $\mathbf{Z}$.

(i) Nhắc lại đẳng thức

với $x, x', y$ trong $G$ (Đại số, Chương I, § 6, no. 2, công thức (4 bis)).

Với $x \in G_\alpha$ và $y \in G_\beta$, lớp modulo $G_{\alpha+\beta}^+$ của phần tử $(x, y)$ của $G_{\alpha+\beta}$ sẽ được ký hiệu là $f(x, y)$. Với $a$ trong $G_{\alpha+\beta}$ và $x'$ trong $G$, $a^{-1}.ax' = (a, x') \in G_{\alpha+\beta}^+$; đặc biệt $f(x, y)$ bằng lớp modulo $G_{\alpha+\beta}^+$ của $(x, y)x'$. Do đó công thức (15) suy ra

Bây giờ $(y, x) = (x, y)^{-1}$, do đó

Từ (16) và (17) ta suy ra

Ta phải chứng minh rằng ánh xạ $f : G_\alpha \times G_\beta \to \mathrm{gr}_{\alpha+\beta}(G)$ xác định khi lấy các thương một ánh xạ $\phi_{\alpha\beta} : \mathrm{gr}_\alpha(G) \times \mathrm{gr}_\beta(G) \to \mathrm{gr}_{\alpha+\beta}(G)$. Theo (16) và (18), chỉ cần chứng minh rằng $f(x, y) = 0$ nếu $x \in G_\alpha^+$ hoặc $y \in G_\beta^+$, điều này suy ra từ (13').

(ii) Vì $(x, x) = e$, từ (17) suy ra rằng $\phi$ là một ánh xạ song tuyến tính phản xứng trên $\mathbf{Z}$. Do đó còn phải chứng minh rằng, với $u \in \mathrm{gr}_\alpha(G)$, $v \in \mathrm{gr}_\beta(G)$ và $w \in \mathrm{gr}_\gamma(G)$,

Cho $x \in G_\alpha, y \in G_\beta$ và $z \in G_\gamma$ là các phần tử lần lượt đại diện cho $u, v$ và $w$. Ta biết rằng $x^y$ và $x$ là hai phần tử của $G_\alpha$ đồng dư theo môđun $G_\alpha^+$ và do đó $x^y$ là một đại diện của $u$ trong $G_\alpha$; vì $(y, z)$ là một đại diện của $\phi(v, w)$ trong $G_{\beta+\gamma}$, ta thấy rằng $(x^y, (y, z))$ là một đại diện của $\phi(u, \phi(v, w))$ trong $G_{\alpha+\beta+\gamma}$. Bằng phép hoán vị vòng, ta thấy rằng $(y^z, (z, x))$ và $(z^x, (x, y))$ lần lượt đại diện cho $\phi(v, \phi(w, u))$ và $\phi(w, \phi(u, v))$ trong $G_{\alpha+\beta+\gamma}$. Quan hệ (19) khi đó là một hệ quả của đẳng thức sau (Đại số, Chương I, § 6, no. 2, công thức (15)):

Đại số Lie $\mathrm{gr}(G)$ trên $\mathbf{Z}$ được định nghĩa trong Mệnh đề 1 được gọi là đại số Lie phân bậc liên kết với nhóm lọc $G$.

$\Gamma = \bigcup_{\alpha > 0} \Gamma_\alpha$ theo phép dựng và quan hệ $\Gamma_\alpha = \bigcap_{\beta < \alpha} \Gamma_\beta$ suy ra từ $A_\alpha = \bigcap_{\beta < \alpha} A_\beta$.

Ta chứng minh rằng $\Gamma_\alpha$ là một nhóm con của $A^*$. Hiện tại $1 \in \Gamma_\alpha$; lấy $x, y$ thuộc $\Gamma_\alpha$, do đó $x - 1 \in A_\alpha, y - 1 \in A_\alpha$. Vì $A_\alpha$ là một iđêan hai phía của $A$, các công thức

suy ra $xy - 1 \in A_\alpha$ và $x^{-1} - 1 \in A_\alpha$, do đó $xy \in \Gamma_\alpha$ và $x^{-1} \in \Gamma_\alpha$.

Vì $\Gamma = \bigcup_{\alpha > 0} \Gamma_\alpha$, đây là một nhóm con của $A^*$.

Cuối cùng lấy $\alpha > 0, \beta > 0, x \in \Gamma_\alpha$ và $y \in \Gamma_\beta$. Đặt $x - 1 = \xi$ và $y - 1 = \eta$. Khi đó

theo giả thiết, $\xi \in A_\alpha$ và $\eta \in A_\beta$, do đó $\xi \eta - \eta \xi \in A_{\alpha + \beta}$. Vì $A_{\alpha + \beta}$ là một iđêan hai phía của $A$, $(x, y) - 1 \in A_{\alpha + \beta}$, do đó $(x, y) \in \Gamma_{\alpha + \beta}$.

(ii) Cho g là đồng cấu nhóm của gr(G) vào gr(A) mà hạn chế của nó trên gr_\alpha(G) là g_\alpha với mọi \alpha. Ánh xạ g là một đơn cấu đồng cấu của các đại số Lie $\mathbf{Z}$.

(i) Cho \alpha > 0. Theo giả thiết, với mọi $a$ trong $G_\alpha$, $\rho(a) - 1 \in A_\alpha$; ký hiệu $p_\alpha(a)$ là lớp của $\rho(a) - 1$ modulo $A_\alpha^+$. Vì $A_{2\alpha} \subset A_\alpha^+$, quan hệ (25) suy ra $p_\alpha(ab) = p_\alpha(a) + p_\alpha(b)$. Khi đó $a \in G_\alpha^+$ khi và chỉ khi $\rho(a) - 1 \in A_\alpha^+$; do đó $G_\alpha^+$ là hạt nhân của đồng cấu $p_\alpha$ của $G_\alpha$ vào gr_\alpha(A). Chuyển qua thương, $p_\alpha$ xác định một đơn cấu đồng cấu $g_\alpha$ của gr_\alpha(G) vào gr_\alpha(A).

Với $\alpha \leq 0$, gr_\alpha(G) = $\{0\}$ và lựa chọn duy nhất là $g_\alpha = 0$.

(ii) Vì $g_\alpha$ là đơn ánh với mọi $\alpha$ thực, g là đơn ánh. Ta chứng minh rằng g là một đồng cấu đại số Lie. Vì gr_\alpha(G) = $\{0\}$ với $\alpha \leq 0$, chỉ cần thiết lập công thức

với $\alpha > 0$, $\beta > 0$, $\rightarrow \in G_\alpha$ và $b \in G_\beta$, điều này suy ra từ (26).

(ii) Nếu $(G_n)_{n \in \mathbf{N}^*}$ là một lọc trung tâm nguyên trên G, thì $C^nG \subset G_n$ với mọi $n \in \mathbf{N}^*$.

Mệnh đề (i) đã được chứng minh trong Đại số, Chương I, § 6, no. 3, công thức (7).

Ta chứng minh (ii) bằng quy nạp theo n; $C^1G = G = G_1$; với n > 1,

Cho L là đại số con Lie của gr(G) sinh bởi $\mathrm{gr}_1(G)$; ta chứng minh rằng $L \supset \mathrm{gr}_n(G)$ bằng quy nạp theo n, mệnh đề này là tầm thường đối với $n = 1$. Giả sử rằng $n > 1$ và $L \supset \mathrm{gr}_{n-1}(G)$. Vì $C^nG = (G, C^{n-1}G)$, phép dựng luật đại số Lie trên gr(G) cho thấy ngay lập tức rằng

Chứng minh trên cho thấy chuỗi trung tâm dưới của đại số Lie gr(G) (§ 2, no. 7) được cho bởi