Exercice 16, § 6

Algèbre, I, p. 137

*Soit V un espace vectoriel sur un corps commutatif k et soit

W = \bigwedge^2 V

(cf. III, p. 76). Sur $E = V \times W$ , on définit une loi de composition par la formule

(v_1, w_1) \cdot (v_2, w_2) = (v_1 + v_2, w_1 + w_2 + v_1 \wedge v_2).

a) Montrer que cette loi munit E d’une structure de groupe, extension centrale de V par W. b) On suppose la caractéristique de $k$ différente de 2. Montrer que le groupe dérivé D(E) est l’ensemble des $(0, w)$ , pour $w \in W$ ; c’est un groupe isomorphe à W. Montrer que, si $\dim(V) \geq 4$ , il existe des éléments de D(E) qui ne sont pas des commutateurs.*

Solution

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