Exercice 6, § 4

Soit K[G] l’algèbre de G sur K et soit I le noyau de l’homomorphisme canonique K[G] → K (« idéal d’augmentation »). On a K[G] = K ⊕ I et I admet pour base la famille des g − 1 pour g ∈ G − {e}. a) Si n est un entier ≥ 0, on note I^n l’idéal de K[G] puissance n-ième de I. Soit G_n l’ensemble des g ∈ G tels que g − 1 ∈ I^n. Montrer que (G_n) est une filtration centrale entière sur G. En particulier, on a G_n ⊃ C^nG pour tout n. b) Montrer que, si K = Z, l’application g ↦ g − 1 définit, par passage aux quotients, un isomorphisme de G/(G, G) sur I/I^2. En déduire que G_2 = C^2G.¹ c) On suppose que K est un corps de caractéristique zéro, et que G est fini. Montrer que I^n = I pour tout n ≥ 1. d) On suppose que K est un corps de caractéristique p > 0, et que G est un p-groupe. Montrer que I^n = {0} pour n assez grand. (On montrera d’abord, en utilisant A, I, p. 73, prop. 11, que tout K[G]-module simple est isomorphe à K ; en déduire que I est le radical de K[G], donc est nilpotent puisque K[G] est de rang fini sur K.) e) On suppose que K = Z, et que G possède la propriété suivante : pour tout g ∈ G tel que g ≠ 1, il existe un nombre premier p, un p-groupe P, et un homomorphisme f : G → P tels que f(g) ≠ e. Montrer que l’on a alors ∩_n I^n = {0}. (On se ramène aussitôt au cas où G = P. En appliquant d) au corps F_p, on voit qu’il existe m tel que I^m ⊂ p . Z[G], et comme I est facteur direct dans Z[G], cela entraîne I^m ⊂ pI, d’où ∩_n I^{mn} ⊂ ∩_n p^nI, qui est réduit à 0 puisque I est un groupe abélien de type fini.)