Bài tập 6, § 4

Cho $K[G]$ là đại số của $G$ trên $K$ và cho $I$ là hạt nhân của đồng cấu chính tắc $K[G] \to K$ ("iđêan augmentation"). Khi đó

K[G] = K ⊕ I và I có cơ sở là họ các $g - 1$ với $g \in G - \{e\}$.

(a) Nếu $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$, ta ký hiệu bởi $I^n$ iđêan của $K[G]$ là lũy thừa thứ $n$ của $I$. Cho $G_n$ là tập hợp các $g \in G$ sao cho $g - 1 \in I^n$. Chứng minh rằng $(G_n)$ là một lọc trung tâm nguyên trên $G$. Đặc biệt, $G_n \supset C^n G$ với mọi $n$.

(b) Chứng minh rằng nếu $K = \mathbf{Z}$ thì ánh xạ $g \mapsto g - 1$ xác định, khi lấy thương, một đẳng cấu của $G/(G, G)$ lên $I/I^2$. Suy ra rằng $G_2 = C^2 G$.†

(c) Giả sử rằng $K$ là một trường có đặc số không và $G$ là hữu hạn. Chứng minh rằng $I^n = I$ với mọi $n \geqslant 1$.

(d) Giả sử rằng $K$ là một trường có đặc số $p > 0$ và rằng $G$ là một $p$-nhóm. Chứng minh rằng $I^n\{0\}$ với $n$ đủ lớn. (Trước hết hãy chứng minh, sử dụng Đại số, chương I, § 6, no. 5, Mệnh đề 11, rằng mọi $K[G]$-môđun đơn đều đẳng cấu với $K$; suy ra rằng $I$ là căn của $K[G]$ và do đó là lũy linh vì $K[G]$ có hạng hữu hạn trên $K$.)

(e) Giả sử rằng $K = \mathbf{Z}$ và rằng $G$ có tính chất sau: với mọi $g \in G$ sao cho $g \neq 1$, tồn tại một số nguyên tố $p$, một $p$-nhóm $P$ và một đồng cấu $f : G \to P$ sao cho $f(g) \neq e$. Chứng minh rằng trong trường hợp đó $\bigcap_n I^n = \{0\}$. (Rút gọn ngay lập tức về trường hợp $G = P$. Áp dụng (d) cho trường $\mathbf{F}_p$, ta thấy rằng tồn tại $m$ sao cho $I^m \subset p \cdot \mathbf{Z}[G]$ và, vì $I$ là một nhân tử trực tiếp trong $\mathbf{Z}[G]$, điều này kéo theo $I^m \subset pI$, do đó $\bigcap_n I^{mn} \subset \bigcap_n p^n I$, mà rút gọn về 0 vì $I$ là một nhóm Abel sinh hữu hạn.)