Exercice 13, § 11

On dit qu’un corps $K$ est un corps de Moriya si toute extension algébrique séparable de $K$, de degré fini sur $K$, est cyclique. \* Tout corps fini est un corps de Moriya (V, p. 91, prop. 4). \* Le corps $M$ de l’exerc. 12 est un corps de Moriya. a) Pour que $K$ soit un corps de Moriya, il faut et il suffit que, pour tout entier $n > 0$, il existe au plus une extension séparable de $K$, de degré $n$ sur $K$. (Utiliser le fait suivant : si $G$ est un groupe fini et si, pour tout entier $m \geqslant 1$ divisant l’ordre de $G$, il existe au plus un sous-groupe de $G$ d’ordre $m$, alors $G$ est cyclique ; cela résulte de la même propriété pour les $p$-groupes (exerc. 12) et de I, p. 76, th. 4.) b) Si $K$ est un corps de Moriya, montrer que toute extension algébrique $E$ de $K$ est un corps de Moriya, et que si $F$ est une extension de $E$ de degré $m$ sur $E$, il existe une extension de $K$ de degré $m$ sur $K$.