Exercice 4, § 6

a) Soit G un groupe fini d’ordre $mn$, tel qu’il existe un sous-groupe distingué H de G qui soit cyclique d’ordre m, le groupe quotient G/H étant cyclique d’ordre n. Montrer que G est engendré par deux éléments a, b tels que $a^m = e$, $b^n = a^r$, $bab^{-1} = a^s$, où r et s sont deux entiers tels que $r(s - 1)$ et $s^n - 1$ soient multiples de m (prendre pour a un élément engendrant H, pour b un élément d’une classe engendrant G/H; exprimer par des puissances de a les éléments $b^h a^k b^{-h}$, et appliquer en particulier aux cas $h = n, k = 1$, et $h = 1, k = r$). b) *Inversement, soit $G(m, n, r, s)$ le groupe défini par la présentation

où m et n sont deux entiers $\geqslant 0$, r et s des entiers quelconques (cf. I, p. 86); montrer que, si $m, r(s - 1)$ et $s^n - 1$ ne sont pas tous nuls, $G(m, n, r, s)$ est un groupe fini d’ordre $qn$, où q est le plus grand commun diviseur de m, $|r(s - 1)|$ et $|s^n - 1|$; dans ce groupe, le sous-groupe H engendré par a est sous-groupe distingué d’ordre q, et G/H est un groupe cyclique d’ordre n (prouver que tout élément de $G(m, n, r, s)$ peut s’écrire sous la forme $a^x b^y$, où x et y sont deux entiers tels que $0 \leqslant x \leqslant q - 1, 0 \leqslant y \leqslant n - 1$, et que $G(m, n, r, s)$ est isomorphe au groupe formé des couples $(x, y)$ d’entiers soumis aux conditions précédentes, avec la loi de composition

la première coordonnée du second membre étant une somme modulo q). Examiner les cas où $m = r(s - 1) = s^n - 1 = 0$.

Le groupe $G(n, 2, 0, -1)$ est appelé groupe diédral d’ordre $2n$ et noté $\mathbf{D}_n$; le groupe $G(4, 2, 2, -1)$ est un groupe d’ordre 8 dit groupe quaternionien et noté $\mathbf{Q}$. Montrer que, dans $\mathbf{Q}$, tout sous-groupe est distingué, et que l’intersection des sous-groupes distincts de $\{e\}$ est un sous-groupe distinct de $\{e\}$. Prouver que $\mathbf{D}_4$ n’est pas isomorphe à $\mathbf{Q}$*