Bài tập 4, § 6

(a) Cho G là một nhóm hữu hạn cấp $mn$ sao cho tồn tại một nhóm con chuẩn tắc H của G, cyclic cấp m, nhóm thương G/H cyclic cấp n. Hãy chứng minh rằng G được sinh bởi hai phần tử a, b sao cho $a^m = e, b^n = a^r, bab^{-1} = a^s$, trong đó r và s là hai số nguyên sao cho $r(s - 1)$ và $s^n - 1$ là các bội của m (lấy a là một phần tử sinh H, b là một phần tử của một lớp kề sinh G/H; biểu diễn các phần tử $b^h a^k b^{-h}$ dưới dạng các lũy thừa của a và áp dụng điều này riêng cho các trường hợp $h = n, k = 1$ và $h = 1, k = r$).

(b) Ngược lại, cho $G(m, n, r, s)$ là nhóm được xác định bởi biểu diễn

*trong đó m và n là hai số nguyên $\geqslant 0$ và r và s là các số nguyên tùy ý (xem § 7, no. 6); hãy chứng minh rằng, nếu m, $r(s - 1)$ và $s^n - 1$ không đồng thời bằng không, thì $G(m, n, r, s)$ là một nhóm hữu hạn cấp $qn$, trong đó q là ước chung lớn nhất của m, $|r(s - 1)|$ và $|s^n - 1|$; trong nhóm này, nhóm con H sinh bởi a là một nhóm con chuẩn tắc cấp q và G/H là một nhóm cyclic cấp n (chứng minh rằng mọi phần tử của $G(m, n, r, s)$ đều có thể viết dưới dạng $a^x b^y$, trong đó x và y là hai số nguyên sao cho $0 \leqslant x \leqslant q - 1, 0 \leqslant y \leqslant n - 1$, và $G(m, n, r, s)$ đẳng cấu với nhóm gồm các cặp có thứ tự $(x, y)$ các số nguyên thỏa mãn các điều kiện trên, với luật hợp thành

*trong đó tọa độ thứ nhất của vế phải là một tổng lấy modulo $q$. Xét các trường hợp trong đó $m = r(s - 1) = s^n - 1 = 0$.

Nhóm $G(n, 2, 0, -1)$ được gọi là nhóm nhị diện cấp $2n$ và được ký hiệu bởi $\mathbf{D}_n$; nhóm $G(4, 2, 2, -1)$ là một nhóm cấp 8 được gọi là nhóm quaternion và được ký hiệu bởi $\mathfrak{Q}$. Hãy chứng minh rằng trong $\mathfrak{Q}$ mọi nhóm con đều là chuẩn tắc và giao của các nhóm con phân biệt với $\{e\}$ là một nhóm con phân biệt với $\{e\}$. Hãy chứng minh rằng $\mathbf{D}_4$ không đẳng cấu với $\mathfrak{Q}$*