Exercice 14, § 11

a) Soit $K$ un corps tel qu’il existe des extensions algébriques de $K$ de degré fini arbitrairement grand, et que toutes ces extensions aient un degré puissance d’un même nombre premier $p$. Montrer que dans ces conditions, pour toute puissance $p^h$ ($h \geqslant 0$), il existe une extension de $K$ de degré $p^h$ (utiliser I, p. 73, th. 1).

b) Soient $p$ un nombre premier, $K$ un corps tel qu’il existe une extension algébrique de $K$ de degré divisible par $p$ si $p \neq 2$, divisible par 4 si $p = 2$. Montrer qu’il existe une extension algébrique $E$ de $K$ telle que l’ensemble des degrés des extensions algébriques de $E$ soit l’ensemble des puissances $p^h$ de $p$. (Si $K$ est parfait ou de caractéristique $\neq p$, soit $K_1$ la clôture parfaite de $K$; considérer une extension algébrique maximale de $K_1$ parmi toutes celles dont les éléments sont de degré non divisible par $p$ sur $K_1$; utiliser $a$) et l’exerc. 11.)