Bài tập 14, § 11

a) Cho K là một trường sao cho tồn tại các mở rộng đại số của K với bậc hữu hạn lớn tùy ý, và mọi mở rộng đó đều có bậc là một lũy thừa của cùng một số nguyên tố p. Hãy chứng tỏ rằng trong các điều kiện ấy, với mỗi lũy thừa $p^h$ ($h \geq 0$) đều tồn tại một mở rộng của K có bậc $p^h$ (dùng I, p. 77, Định lý 1).

b) Cho $p$ là một số nguyên tố và $K$ là một trường sao cho tồn tại một mở rộng đại số của $K$ có bậc chia hết cho $p$ nếu $p \neq 2$ và chia hết cho 4 nếu $p = 2$. Hãy chứng tỏ rằng tồn tại một mở rộng đại số $E$ của $K$ sao cho tập hợp các bậc của các mở rộng đại số của $E$ là tập hợp các lũy thừa $p^h$ của $p$. (Nếu $K$ hoàn hảo hoặc có đặc số $\neq p$, lấy $K_1$ là bao đóng hoàn hảo của $K$; xét một mở rộng đại số cực đại của $K_1$, trong số các mở rộng mà mọi phần tử đều có bậc không chia hết cho $p$ trên $K$; dùng a) và Bài tập 11.)